第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p 真 真 假 假
2．全称量词和存在量词
量词名称 全称量词 存在量词
q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在一个、至少一个、有些、某些等 符号表示 ? ? 3．全称命题和存在性命题 名称 形式 结构 简记 否定 [小题体验]
1．(2019·启东中学期末检测)在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p________，q________.
解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．“p∧q”为假， ∴p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，∴p为假，q为真． 答案：假 真
2．(2019·盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是________________________．
答案：对于任意的实数x，使得x≤1
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，
1
x全称命题 对M中的任意一个x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 则下列命题：
①p∨q；②綈p∧綈q；③綈p∨q；④p∧綈q.其中为真命题的序号是________．
解析：由题设可知：p是真命题，q是假命题；所以綈p是假命题，綈q是真命题； 所以p∨q是真命题，綈p∧綈q是假命题，綈p∨q是假命题，p∧綈q是真命题，故①④正确．
答案：①④
1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．
2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．
[小题纠偏]
1．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为_____________________________． 答案：若ab＝0，则a≠0且b≠0
2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．
解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
考点一 全称命题与存在性命题
基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．已知命题p：?x∈R，log2(3＋1)≤0，则命题p的否定是“______________________”．
答案：?x∈R，log2(3＋1)＞0
xx?1?2
2．(2018·淮安期末)若“?x∈?，2?，使得2x－λx＋1＜0成立”是假命题，则实
?2?
数λ的取值范围为________．
?1?2
解析：若“?x∈?，2?，使得2x－λx＋1＜0成立”是假命题，
?2?
1?1?即“?x∈?，2?，使得λ＞2x＋成立”是假命题，
x?2?1?1?所以“?x∈?，2?，都有λ≤2x＋成立”是真命题． x?2?
2
1?1?由x∈?，2?，得函数y＝2x＋≥2 x?2?当且仅当x＝
2
时等号成立． 2
1
2x·＝22，
x所以λ≤22，即实数λ的取值范围为(－∞，22]． 答案：(－∞，22]
4?1??x∈[2,3]，
3．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈?，1?，使得f(x1)≥g(x2)，2
x?2?则实数a的取值范围是________．
4??1??解析：由题意知，f(x)min?x∈?，1??≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)
x??2??4?1?＝1－2，所以f(x)在?，1?上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2,3]上的
x?2?最小值为g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.
答案：(－∞，1]
4．(2019·南通中学调研)已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥e”，命题q：“?x∈R，
xx2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p：“?x∈[0,1]，a≥e”为真命题，则a≥e；若命题q：“?x∈R，xx2
＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题，则实
数a的取值范围是[e,4]． 答案：[e,4]
[谨记通法]
1．全称命题与存在性命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．
2．由真假求参要转化
含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．
考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断
重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2019·泰州模拟)已知命题p1：函数y＝2－2在R上为增函数，p2：函数y＝2＋2
x－xx－x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中，真命题的
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高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案(理)解析版
