【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的三角
函数3-1-2两角和与差的正弦教案两角和与差的正弦
整体设计
教学分析
1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．
2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
三维目标
1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决
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问题的能力．
3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．
重点难点
教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用． 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明． 课时安排 2课时
教学过程 第1课时
导入新课
思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝5π10π
，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，52102
求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．
推进新课
新知探究
会推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数式的值．
活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sinα＋cosα＝1来互化，这ππ
些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos(－α)＝sinα，sin(－α)＝cosα，
22我们可以得到：
2
2
2 / 14
ππ
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
22ππ
＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ
22＝sinαcosβ＋cosαsinβ. 在上述公式中β用－β代之，则 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β) ＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α＋β)、S(α－β)． sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))， sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))．
应用示例
思路1
例1课本本节例1. 变式训练
3ππ
1．已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)的值．
544活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cosα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成． 3
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得
5cosα＝1－sinα＝
2
3
1－－
5
2
4＝， 5
πππ
于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα
444＝
242372
×－×(－)＝， 252510
πππ
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα
444＝
2423×－×(－) 2525
72＝. 10
3 / 14
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个题目的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．
π3π
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则2sin(α＋)等于( )
254
717
A. B. C. D．4 552答案：A
例2课本本节例2. 变式训练
2π33π
已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．求sin(α－β)，cos(α
3242＋β)．
活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)应先求出cosα，sinβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号． 2π
解：由sinα＝，α∈(，π)，得
32cosα＝－1－sinα＝－2
1－
2
3
2
＝－
5. 3
33π
又由cosβ＝－，β∈(π，)，
42得sinβ＝－1－cosβ＝－2
3
1－－
4
2
＝－
7， 4
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 2357＝×(－)－(－)×(－) 3434－6－35＝. 12
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－35＋27＝.
12
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
π
例3求证：cosα＋3sinα＝2sin(＋α)．
6
4 / 14
5327)×(－)－×(－) 3434
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α＋β)展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．
ππ
证明：方法一：右边＝2(sincosα＋cossinα)
6613
＝2(cosα＋sinα)
22＝cosα＋3sinα＝左边． 13
方法二：左边＝2(cosα＋sinα)
22ππ
＝2(sincosα＋cossinα)
66π
＝2sin(＋α)＝右边．
6
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边13π
的系数1与3分别变为了与，即辅助角的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx(a，b
226不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sinφ＋cosφ＝1，可得：
A＝a＋b，A＝±a＋b，不妨取A＝a＋b，于是得到cosφ＝b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
aa＋b
2
2
，sinφ＝
，因此asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx22
a＋b
这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
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【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的三角函数3-1-2两角和与差的正弦教案
