第四章
复习题
1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似， 为什么前者得到的是精
确描述，而后者解出的确实近似解。
4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程， 也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数
用差分公式表示来建立。 试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成？
8．有人对一阶导数 x 你
3tni 5tni1 tni 2
n,i
能否判断这一表达式是否
正确，为什么？ 一般性数值计算
22 x
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验
公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根 n
（n 1,2 ,6）:
Bi
tan n ,n 1,2,3
n
a Fo 2 0.2
并用计算机查明，当 2 时用式（ 3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计 算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。
解： n tan n Bi ，不同 Bi 下前六个根如下表所示： Bi 0.1 1.0 μ1 0.3111 0.8603 1.4289 μ2 3.1731 3.4256 4.3058 μ3 6.2991 6.4373 7.2281 μ4 9.4354 9.5293 10.2003 μ5 12.5743 12.6453 13.2142 μ6 15.7143 15.7713 16.2594 10 Fo=0.2 及 0.24 时计算结果的对比列于下表：
Fo=0.2 x
Bi=0.1 Bi=1 0.62945 0.64339 0.97833 Bi=1 0.96514 0.95064 1.01525 Bi=10 0.11866 0.12248 0.96881 Bi=10 0.83889 0.82925 1.01163 第一项的值 前六和的值 0.94879 0.95142 0.99724 Fo=0.2 x 0 Bi=0.1 比值 第一项的值 前六项和的值 比值
0.99662 0.994 1.002 Fo=0.24 x
Bi=0.1 Bi=1 0.61108 0.6198 0.98694 Bi=1 0.93698 0.92791 1.00978 Bi=10 0.10935 0.11117 0.98364 Bi=10 0.77311 0.76851 1.00598 第一项的值 前六项的值 0.94513 0.94688 0.99814 Fo=0.24 x 0 Bi=0.1 比值 第一项的值 前六项和的值
0.99277 0.99101 1.00177 比值 4-2、试用数值计算证实，对方程组
x1 2x2 2x3 1
x1 x2 x3 3 2x1 2x2 x3 5
用高斯 -赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。 解：将上式写成下列迭代形式
x1 1/ 2 5 2x2
x3 x1
x2 1/ 21 2x3 x3 3 x1 x2
假设 x2, x3初值为 0，迭代结果如下： 迭代次数 0 1 2
3 2.09375 1.171875 2.078125
4
2.6328125 1.26171825 -0.89453125
x1 x2
x3
0 0 0
2.5 -0.75 1.25
2.625 0.4375 - -0.0625
显然，方程迭代过程发散 因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值 代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯
t1,t2 ,t3,t4
-赛德尔迭代法计算
之值。
解：温度关系式为：
t1 1/4t2 t3 40 30 t2 1/4t1 t4 20 30 t3 1/4t1 t4 30 15 t4 1/4t2 t3 10 5
开始时假设取 tt2 20℃； t30 t40 15℃
1
得迭代值汇总于表 迭代次数
0 15 1 2
20
20
22.8125 23.359375
15
26.25 28.59375 21.5625 22.109375 14.84375 15.1171875
3 4
5 6 28.9569089 23.54095446 22.290955445 4其中第五次与第六次相对偏差已小于 10 迭代终止。
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方
00
2
30W /(m .K ) .肋高 H=4cm,纵 2
2
AL 4cm ,导热系数
剖面面积
解：对于 2 点可以列
出： t1 t2 t3 t4
28.8671875 28.93554258 28.95263565 23.49609375 23.53027129 23.53881782 22.24607565 22.28027129 22.28881782 15.18554258 15.20263565 15.20690891 15..20797723
法 求 解 节 点 2 ， 3 的 温 度 。 图 中 t0 85C,tf 25C,h
20W /(m.K)。
节点 2： 节点 3：
t2 t3 t2 t1 由此
t2 t3
h x2
t
xx
2 3
x
t
2h x(t1 t2 ) 0;
x
h(tf t1) 2h (tf t3) 0
13
x2 f 2 f
2h x2 h (t1 t 2) 0 t 2 t3 (t f t3)
2 2h xH2
x h2
(t f t3) 0
，
，
t3
t2
h
2h xH2 tf
h x 2 t
2t
2
1 h h x
2
2
30 0.022 20 0.01 t2 30/20 tf 0.03t f 3
t
0.06
于是有：
t
t1 t2 0.12t f
2 0.12 ， 0.03tf t2 1.53t f
2.53
2.53 ，代入得：
，
t2 1.5t f
1 30/20 0.03
t2 1.53t f 2 f
2.12t2 t1 0.12t f
2 1
2.53
f
5.3636t2 2.53t1 t 2 1.53t f 0.3036tf t2
2.53tf 1.8336t f
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f ， 2.53 85 1.8336 25 t2
4.3636
59.8 1.53 25
t3
4.3636
215.05 45.84 59.79 59.8 C
4.3636 ，
。
2.53
离散方程的建立
38.75 38.8 C
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，
并指 出其稳定性条件( x y) 。
解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
传热学第四版课后题答案第四章汇总
