课时跟踪检测（十五） 导数的概念及运算
[A级 保分题——准做快做达标]
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0
B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
1
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处
x的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．已知函数f(x)＝aln x＋bx的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为( )
A．－1 C．3
B．1 D．－3
2
解析：选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上， 所以f(1)＝1，即aln 1＋b×1＝1，解得b＝1， 所以f(x)＝aln x＋x， 故f′(x)＝＋2x.
则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2， 因为切线与直线x－y＋1＝0垂直， 所以a＋2＝－1，即a＝－3.
3．(2019·珠海期末)曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A．30° C．60°
B．45° D．120°
3
3
2
3
2
2
ax解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y＝x－2x＋4上．∵y＝x－2x＋4，∴y′＝3x3
－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.
4．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 018(x)＝( )
A．－sin x－cos x C．－sin x＋cos x
B．sin x－cos x D．sin x＋cos x
*
3
解析：选C ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故选C.
5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f(x)＝x＋ax，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) C．(－1,1)
B．(1，－1)
D．(1，－1)或(－1,1)
2
32
3x0＋2ax0＝－1，??2
解析：选D f′(x)＝3x＋2ax，依题意，得?x0＋fx0＝0，
2??fx0＝x30＋ax0，
解得
a＝－2，??
?x0＝1，??fx0＝－1
2
a＝2，??
或?x0＝－1，??fx0＝1，
故选D.
6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x－x－3x－1图象的一条切线，则k＝( )
A．1 C．2
B．－1 D．－2
2
32
解析：选C 直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x－2x－3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y－y0＝(3x0－2x0－3)(x－x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝x0－x0－3x0－1，解得x0＝－1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.
7．(2019·银川一中月考)设函数f(x)＝则导数f′(－1)的取值范围是( )
A．[3,4＋3] C．[4－3，6]
2
3
2
3sin θ3cos θ2?5π?x＋x＋4x－1，θ∈?0，?，
6?32?
B．[3,6]
D．[4－3，4＋3]
解析：选B 求导得f′(x)＝3xsin θ＋xcos θ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－π???5π?可得θ－π∈?－π，2π?，
1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin?θ－?＋4，由θ∈?0，?，?6?6?3?6?6???π??1?π???∴sin?θ－?∈?－，1?，∴2sin?θ－?＋4∈[3,6]．故选B.
6??2?6???
8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝为25，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
2x在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离x－1
解析：选B y′＝
x－－2x2
＝－
x－2x－
2，y′|x＝2＝－
2
－
2
＝－2，因此
kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得
|2×2＋4－b|
＝25，5
解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.
9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y＝x－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的
2
?3?横坐标的取值范围是?1，?，则切线的倾斜角的取值范围是( ) ?2?
?π?A.?0，?
2??
C．[0，π)
?π?B.?0，?
4??
D.?
?3π，π?
?
?4?
3
解析：选B 因为y′＝2x－2,1≤x≤，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则
2π
0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤，故选B.
4
10．(2019·广东七校联考)函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是( )
解析：选A 法一：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，f′(－
x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数．又f′(0)＝1，所以排除C、D；令g(x)＝f′(x)＝cos x－xsin x，则g′(x)＝－xcos x－2sin x，易知g′(0)＝0，且当x∈?0，?时，g′(x)<0，
2
??
π?
?
??f′(x)单调递减，当x∈?－，0?时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，所以f′(x)在x＝0处
?
取得极大值，排除选项B.故选A.
法二：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，又f′(0)＝1，所以
π?2
?π?排除C，D；当x∈?0，?时，y＝cos x单调递减，对于y＝xsin x，y′＝xcos x＋sin x>0，
2???π?则y＝xsin x单调递增，则f′(x)＝cos x－xsin x在?0，?上单调递减．故选A.
2??
11．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为______________．
2
解析：因为y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
x答案：y＝2x－2
12．若点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 12
解析：由y＝x－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，
2
x设点P0(x0，y0)是曲线y＝x－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点， 11
则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．
x02∴点P0的坐标为(1,1)．
|1－1－2|
∴所求的最小距离为＝2.
2答案：2
1
13．(2019·石家庄二中月考)已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)
2
x都相切，则直线l的斜率为________．
1?11?解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－2，设曲线f(x)与l切于点?x1，?，则切线斜
xx?x1?
11112122
率k＝－2，故切线方程为y－＝－2(x－x1)，即y＝－2x＋.与g(x)＝x联立，得x＋2x1x1x1x1x1x1
x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以?2?2－4?－?＝0，解得x1＝－，故斜率k＝x12?x1??x1?
1
－2＝－4.
2
?1??2?1
x1
答案：－4
14．(2019·淄博六中期末)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝离为5.
答案：5
15．(2019·孝感高中期中)已知函数f(x)＝x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．
3
2
＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距2x0－1|2－0＋3|2＋－
2
2
＝5，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是
解：(1)f′(x)＝3x－1，∴f′(1)＝2. 故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，x0－x0)，则切线方程为y－(x0－x0)＝f′(x0)(x－x0)． 又切线过点(1，b)，所以(3x0－1)(1－x0)＋x0－x0＝b， 即2x0－3x0＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解． 记g(x)＝2x－3x＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．
16．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
7
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
41
当x＝2时，y＝. 2
3
2
3
2
2
3
3
3
2
bxb12a－＝，??22b又f′(x)＝a＋，所以?xb7
a＋??4＝4，2
??a＝1，
解得?
??b＝3.
3
故f(x)＝x－. x(2)是定值，理由如下：
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
3?3?由f′(x)＝1＋2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝?1＋2?(x－x0)，
x?x0?
3??3??即y－?x0－?＝?1＋2?(x－x0)．
?x0??x0?
6?6?令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为?0，－?.
x0
?x0?
令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S
(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习：课时跟踪检测汇编(含答案)
