2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
?102x?x2dx=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a= _____________. ????????1a?2????x3????0??1(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则
9P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)(C)
??xdS?4??xdS
SS1
(B)(D)
??ydS?4??xdS
SS1SS1
??zdS?4??xdS
SS1?n?1??xyzdS?4??xyzdS
(3)设级数?un收敛,则必收敛的级数为
?(A)?(?1)nun
nn?1
2(B)?un
n?1??(C)?(u2n?1?u2n)
n?1?(D)?(un?un?1)
n?1(4)设n维列向量组α1,L,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,L,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α1,L,αm可由向量组β1,L,βm线性表示 (B)向量组β1,L,βm可由向量组α1,L,αm线性表示 (C)向量组α1,L,αm与向量组β1,L,βm等价 (D)矩阵A?(α1,L,αm)与矩阵B?(β1,L,βm)等价
(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为 (A)E(X)?E(Y) (C)E(X2)?E(Y2)
三、(本题满分6分) 求lim(x??
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 (D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
2?e1?e1x4x?sinx
).x
四、(本题满分5分)
xx设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续
yy?2z偏导数,g具有二阶连续导数,求.
?x?y
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I???
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且lim?x?02xxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy?0,其中函数ò??Sxdy?ydx,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
L4x2?y2f(x)?1,求f(x).
七、(本题满分6分)
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. nnn?13?(?2)?九、(本题满分6分)
设函数f(x)在[0,?]上连续,且使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)
??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,0?
?10?01*?设矩阵A的伴随矩阵A??10??0?3十一、(本题满分8分)
00100?0??,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B. ?0?8?
1某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收
62新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练
5工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn??. y?n?(1)求??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:??????A??. ?yn?1??yn??yn?1??yn??4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 1??(2)验证η1???,η2???1??x??x???(3)当?1???2?时,求?n?1?.
?yn?1??y1??1????2?
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).
十三、(本题满分6分)
?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??,其中?x???0一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.
?0为未知参数.又设x1,x2,L,xn是X的
考研数学(一)真题
