初二数学上册期末复习资料
因式分解
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.
注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：
(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.
2?p????q7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式 ? ?2?”.
分式
全等三角形：
1．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图） BDCA几何表达式举例： (1) ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是角平分线 2．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图） A几何表达式举例： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD BDC ∴AD是三角形的中线 3．三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） A几何表达式举例： (1) ∵AD是ΔABC的高 ∴∠ADB=90° (2) ∵∠ADB=90° BDC ∴AD是ΔABC的高 - 1 -
※4．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图） BC A几何表达式举例： (1) ∵AB+BC＞AC ∴…………… (2) ∵ AB-BC＜AC ∴…………… 5．等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） 6．等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） A几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ∵AB = AC BC ∴ΔABC是等腰三角形 几何表达式举例： A(1)∵ΔABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ∵AB=BC=AC BC ∴ΔABC是等边三角形 几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴………………… 7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180°；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图） (2) ∵∠C=90° ※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. BCA∴∠A+∠B=90° (3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… AACB（1） （2） （3）（4） 8．直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图） CBCD(4) ∵∠ACD ＞∠A ∴………………… 几何表达式举例： A(1) ∵∠C=90° ∴ΔABC是直角三角形 (2) ∵ΔABC是直角三角形 B ∴∠C=90° 9．等腰直角三角形的定义： 几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB A两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角 三角形.（如图） ∴ΔABC是等腰直角三角形 (2) ∵ΔABC是等腰直角三角形 CB ∴∠C=90° CA=CB - 2 - 10．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图） BCFGAE几何表达式举例： (1) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴∠A=∠E ……… 几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG ∴ΔABC≌ΔEFG (2) ……………… 11．全等三角形的判定： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图） B C F （（2） G1） （3） FBCGAEAE(3)在RtΔABC和RtΔEFG中 ∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴RtΔABC≌RtΔEFG 12．角平分线的性质定理及逆定理： 几何表达式举例： (1)∵OC平分∠AOB ADC（1）在角平分线上的点到角的两边距离相 等；（如图） （2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图） 13．线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图） AOFB又∵CD⊥OA CE⊥OB ∴ CD = CE (2) ∵CD⊥OA CE⊥OB OEB 又∵CD = CE ∴OC是角平分线 E几何表达式举例： (1) ∵EF垂直平分AB ∴EF⊥AB OA=OB (2) ∵EF⊥AB OA=OB ∴EF是AB的垂直平分线、 几何表达式举例： MP14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理： （1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图） （2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图） ANCB(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴ PA = PB (2) ∵PA = PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 几何表达式举例： (1) ∵AB = AC 15．等腰三角形的性质定理及推论： （1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图） （2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；∴∠B=∠C （如图） - 3 - (2) ∵AB = AC （3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） A又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CD AAAD⊥BC ……………… (3) ∵ΔABC是等边三角形 CBC （1） BDC （2） B（3） ∴∠A=∠B=∠C =60° 16．等腰三角形的判定定理及推论： 几何表达式举例： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即(1) ∵∠B=∠C 等角对等边）（如图） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C ∴ΔABC是等边三角形 （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边(3) ∵∠A=60° 是斜边的一半.（如图） AA又∵AB = AC ∴ΔABC是等边三角形 A(4) ∵∠C=90°∠B=30° CBC（1）B（2）（3）CB（4） 1∴AC =2AB 17．关于轴对称的定理 （1）关于某条直线对称的两个图形是全 M几何表达式举例： (1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MNAOCFGNE等形；（如图） （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图） 18．勾股定理及逆定理： B轴对称 ∴ΔABC≌ΔEGF (2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是直角三角形 （1）直角三角形的两直角边a、b的平方 和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图） （2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图） 19．RtΔ斜边中线定理及逆定理： CBA∴a2+b2=c2 (2) ∵a2+b2=c2 ∴ΔABC是直角三角形 几何表达式举例： ∵ΔABC是直角三角形 （1）直角三角形中，斜边上的中线是斜 边的一半；（如图） （2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图） CBA∵D是AB的中点 D1∴CD = 2AB (2) ∵CD=AD=BD - 4 -
∴ΔABC是直角三角形
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