《5.2.1 三角函数的概念（第一课时）》
教学设计
教学目标
1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；
2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．
教学重难点
教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．
教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sin?，cos?和tan?的认识．
课前准备
PPT课件
教学过程
（一）创设情境
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
图1
如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，
建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？ 预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论． 预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质． 设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向． （二）新知探究
引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．
ππ2π问题2：当α=时，点P的坐标是什么？当α=或时，点P
623图2
的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 预设的师生活动：在学生求出α=
π时点P的坐标后追问以下问题． 6追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？
（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？ （3）如何利用上述经验求α=
2π时点P的坐标？ 3（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？
预设答案：（1）直角三角形的性质；
（2）画出
π的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在Rt△OMP中，利用直角6?31?三角形的性质可得点P的坐标是?，?；
?22????13?π?； ，而点P在第二象限，可得点P的坐标是??，?2?3?2?（3）可以发现，∠MOP=
（4）对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：
f：实数?（弧度）对应于点P的纵坐标y， g：实数?（弧度）对应于点P的横坐标x．
根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数． 设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．
问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题： （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号sin ?，cos ?和tan ?分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当?≠
π＋kπ时，tan ?的值是唯一确定的？ 2π2（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z }？
预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题． 预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sin? →点P的纵坐标y；
余弦函数的对应关系：cos? →点P的横坐标x； 正弦函数的对应关系：tan? →
y x（2）分别表示y，x，；引入符号logab表示ax=b中的x（3）当?≠
．
π＋kπ时，如果α确定，那么?的终边确定，终边与单位圆的交点P确定，2y的值也是唯一确定的，所以tan ?的值也是xP 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，因此唯一确定的．
（4）当?＝
yπ＋kπ时，?的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以＝tan 2x?无意义．除此之外，对于任意角?，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的．
设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号logab表示ax=b中的x），理解三角函数符号的意义．
问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数π??值的函数．设x∈?0，?，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本
2??节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．
预设答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，可得出y1=z1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论．
设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性． 例1 利用三角函数的定义求
5π的正弦、余弦和正切值． 3预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．
预设答案：在直角坐标系中，作∠AOB=
5π（图3）． 3
?13??． 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为?，??22???5π35π15π，cos???，tan??3．
32323所以，sin
图3
设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．
练习：在例1之后进行课堂练习： （1）利用三角函数定义，求π，
3π的三个三角函数值． 2（2）说出几个使cos α＝1的α的值．
预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．
预设答案：（1）sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；sin在．
（2）α＝0，2π，－2π等．
设计意图：检验学生对定义的理解情况．
例2 如图4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：sin α=
yyx，cos α=，tan α=．
rrx3π3π3π＝－1，cos＝0，tan不存222师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明： （1）你能根据三角函数的定义作图表示出sin α，cos α吗？ （2）在你所作出的图形中，角函数的关系吗？
yyx，，各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三rrx
高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数的概念教 案
