中考培优竞赛专题经典讲义 第27讲 存在性问题之等腰三角形

第27讲 存在性问题之等腰三角形

【例题讲解】

例题1.如图，直线l1、12相交于点A,点B是直线外一点,在直线l1、12上找一点C，使 △ABC为一个等腰三角形.满足条件的点C有 个.

l1BAl2

【提示】

①以B为圆心,线段BA长为半径作圆,与l1、12交点即为满足条件点C； ②以A为圆心,线段BA长为半径作圆，与l1、12交点即为满足条件点C；

③作线段AB的垂直平分线，与l1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)

【巩固训练】

4x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在坐标轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样3的点C最多有 个。

2、已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )

A.6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条

1、一次函数y=

4x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C,使得AC=BC,求出C点坐标？3【代数法、几何法均可解】

例题2. 一次函数y=

解：如图所示,直线AB的解析式为y=

4x+4, 3当y=0时,x=－3,则A(－3.0);当x=0时,y=4,则B(0,4)。

设C点坐标为(x.0),在Rt△AOB中,由勾股定理得OA2?OB2?32?42?5, 在Rt△BOC中,由勾股定理得BC=OC2?OB2?x2?42。 ①当以AB为底时,AC=BC,则3+x=x2?42,整理得6x=7,解得x=

77,则(,0); 66②当以BC为底时,可得AC=AB,则?3?x?5,解得x=2或－8,则C(2,0)或(－8,0); ③当以AC为底时,可得AB=BC,即得x2?42=5,整理得x2=9,解得x=±3, 则C(3,0)或(－3,0)(舍去)。

综上所述,满足条件的点C的坐标是(

7,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0) 6例题3.如图,直线x=－4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=－4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1：3. (1)求点A的坐标；

(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.

yBCEADOxx=4

解:(1)如图过点D作DF⊥x轴于点F.由题意可知OF=AF则2AF+AE=4① AFAD1??,即AE=2AF② AEAB2①与②联立解得AE=2,AF=1.∴点A的坐标为(－2,0);

(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx

∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE,∴

?2?0＝－1 2∵B、C两点关于直线x=－1对称B点横坐标为－4,∴C点横坐标为2,∴BC＝2－(－2)＝6 ∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC. ∴当△OBC是等腰三角形时分两种情况讨论: ①当OB=BC时设B(－4,y1),

∵抛物线过原点(0,0)和A点(－2,0),∴对称轴为直线x＝

则16+y12=36解得y1=?25(负值舍去). 将A(－2,0),B(－4,25)代入y=ax2+bx ??a???4a?2b?0?得?,解得???16a?4b?25?b???54 52∴此抛物线的解析式为y=525x+x 42②当OC=BC时设C(2,y2),则4+y22=36解得y2=?42(负值舍去) 将A(－2,0),C(2,42)代入y=ax2+bx, ?24a?2b?0??a??得?,解得?2

4a?2b?42???b?2?∴此抛物线的解析式为y=22

x+2x 2

例题4.如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0

(1)设△APQ的面积为S,请写出S关于t的函数表达式？

(2)如图乙,连接PC,将△POC沿QC翻折,得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时,求t的值； (3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形？

PBBPAC图1图2P'AQCQ

解:(1)如图1,过点P作PH⊥AC于H,

∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴PH∥BC,∴△APH∽△ABC,∴∵AC=4cm, BC=3cm,∴AB=5cm∴∴△AQP的面积为:S=∴当t为

PHAP, ?BCABPH5?t3,∴PH＝3－t， ?3551133518×AQ×PH=×t×(3－t)=?(t?)2? 2251025518秒时,S最大值为cm2. 25(2)如图2,连接PP',PP'交QC于E,

当四边形PQP'C为菱开时,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,

∴△APE∽△ABC, ∴

AEAPAP?AC(5?t)?44,∴AE=????t?4

ACABAB5549111∴QE=AE－AQ=?t+4－t=?t+4，QE=QC=(4－t)=?t+2

552229120∴?t+4＝?t+2，∴解得:t＝，

5213∵0＜

20＜4. 1320秒; 13∴当四边形PQP'C为菱形时,t值是

39(3)由(1)知,PD=?t?3,与(2)同理得:QD=AD－AQ=?t?4

5539182∴PQ＝PD2?QD2?(?t?3)2?(?t?4)2?t?18t?25 555在△APQ中,①当AQ=AP,即=5－t时,解得:t1=

5， 2②当PQ=AQ,即③当PQ=AP即18225,t3=5. t?18t?25=t时,解得:t2=

51318240 t?18t?25=5－t时,解得:t4=0, t5=

513∵0

∴当t为

52540s或s或s时, △APQ是等腰三角形. 21313

例题5.已知,如图,在Rt△ABC中,AC=6,AB=8,D为边AB上一点,连接CD,过点D作DE⊥DC交BC与E,把△BDE沿DE翻折得△DE B1,连接B1C (1)证明:∠ADC=∠B1DC；

(2)当B1E/∥AC时,求折痕DE的长； (3)当△B1CD为等腰三角形时,求AD的长.

ADBCB1E

解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE=∠B1DE,

∵DE⊥DC,∴∠ADC=180°－90°－∠BDE=90°－∠BDE,∠B1DC=90°－∠B1DE， ∴∠ADC=∠B1DC (2)解延长B1E交AB于F.

∵B1E∥AC,∠A=90°,∴B1F⊥AB,∴∠EB1D+∠BDB1=90°. ∵∠B=∠EB1D,∴∠B+∠BDB1=90°,∴∠BGD=90°,

??B??EB1D?在△BDC和△B1FD中, ??BGD??B1FD∴△BDG≌△B1FD.∴DF=DG,

?BD?DB1???ADC??CDG?在△ADC和△GDC中, ??A??DGC?90o,∴△ADC≌△GDC,∴DG= AD.

?DC?DC?∴DF=AD=DG,

设DF=AD=DG=x,∴BF＝8－2x, ∵EF∥AC,∴△BFE∽△BAC,∴

EFBF12?3x,∴EF＝， ?ACAB212?3xxDFEF2∵△EFD∽△ACD,∴,∴?， ?6xACAD解得:x=3,∴BF=3,EF＝

353，∴DE＝.

22(3)解设AD=x,则CD=x2?36,BD=8－x， ∵△B1CD是等腰三角形,

①当B1D=B1C时则∠B1DC=∠B1CD,∴DB1= BD=8－x,

x2?361如图2过B1作B1F⊥CD,则DF=CF=CD=,

22∵∠ADC=∠B1DC,∠B1FD=∠A=90°,∴△CDA∽△B1DC,

36?x22，∴3x2－16x+36=0,此方程无实数根. x∴

8?xB1DDF?,即?2CDAD36?x∴B1D≠BC.

②B1D=CD时，∴B1D= CD= BD=8－x.∴(8－x)2=x2+6，∴x＝③当CD=BC时如图2过C作CH⊥DB,则DH= B1H=

77,∴AD＝. 44111DB1=BD=(8－x) 222??ADC??CDH?在△ACD和△CHD中，??A??CHD?90o∴△ACD≌△CHD,∴AD= DH=x

?CD?CD?∴x＝

188(8－x),∴x=,∴AD=, 23378或. 43综上所述:当△B1CD是等腰三角形时AD的长为