第二章 平面力系的简化与合成
引言
基本要求
1、掌握投影及力矩的求法；
2、理解力偶的概念及性质；
3、掌握各种平面力系的简化方法；
4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。
在工程实际中，作用于物体
上的力系往往是较为复杂的。研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。
本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。
第一节 平面汇交力系的合成
各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。
一、投影的概念及求法
力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描
述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。
在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。具体说明如下：
设力Ｆ作用于物体上的Ａ点，其作用线为ＡＢ，在力Ｆ的作用线所在的平面内建立直角坐标系Oxy。
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从力Ｆ的两个端点Ａ、Ｂ分别作x轴的垂线，得垂足a、b，在线段ab前冠以适当的正负号，就称为力Ｆ在x轴上的投影，记作Fx；同样从Ａ、Ｂ分别作y轴的垂线，得垂足a?、b?，在线段a?b?前冠以适当的正负号，就称为Ｆ在y轴上的投影，记作
Fy。
力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a或a￠）到末端对应的垂足（b或b￠）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。如图2-1中，
Fx取正值，Fy取负值。
若力Ｆ的大小为F，它与x和y轴所夹的锐角分别为α、β，则Ｆ在x、y轴上的投影分别为：
Fx??F?cos???F?sin???Fy??F?sin???F?cos??
上式表明，力在坐标轴上投影的大小，等于力的大小与力与该轴所夹锐角的余弦的乘积。
不难看出，当力与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的方向与坐标轴的正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影等于零。 由投影的定义式可知，力在坐标轴上的投影仅与力的大小、方向有关，而与力的作用点或作用线的位置无关，它仅表征了力的大小、方向对力的作用效应的影响.
前面讲述了已知力求投影的方法，反过来，若已知力Ｆ在坐标轴上的投影Fx和
Fy，也可以求出力Ｆ的大小和方向。
Fx2?Fy2????Fytan???Fx?? F?
式中，F表示力Ｆ的大小，a表示Ｆ与x轴所夹的锐角，Ｆ的具体指向可由Ｆx和Ｆy的正负确定。显然，上方；
Fx>0,Fy<0Fx>0,Fy>0时，Ｆ指向右
时，Ｆ指向右下方；
Fx<0,Fy>0时，Ｆ指向左上方；
Fx<0,Fy<0时，Ｆ指向左下方。
必须指出，投影和分力是两个不同的概念，分力是矢量，投影是代数量，分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关，它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才和同一轴上的投影的绝对值相等。 二、合力投影定理
投影表征了力对物体一种效应的，同时，合力与分力又是等效的，那么，二者的投影间有何关系呢？
可以证明，当刚体受Ｆ1、Ｆ2……Ｆn组成的平面汇交力系的作用时，
若 Ｒ＝Ｆ1＋Ｆ2＋……＋Ｆn
则 Ｒx＝Ｆ1x+Ｆ2x＋……＋Ｆnx＝ΣＦx Ｒy＝Ｆ1y+Ｆ2y＋……＋Ｆny＝ΣＦy
上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。
既然合力投影与分力投影之间的关系对任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，我们就应注意坐标轴的选择，尽可能使运算方便。
三、平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系的合成方法主要有几何法和解析法两种。几何法是根据力的平行四边形法则逐一合成，工程上应用较多的是解析法。其具体方法如下：
欲求平面汇交力系Ｆ1、Ｆ2……Ｆn的合力，首先建立直角坐标系Oxy，并求出各力在x、y轴上的投影，然后根据合力投影定理计算合力Ｒ的投影Rx和
Ry，最后根据公式（2-2）求出合力的大小和方向：
22Rx?Ry?(?Fx)2?(?Fy)2????RyFy??tan???RxFx???
R?式中，Ｒ为合力的大小，θ为Ｒ与x
轴所夹的锐角，Ｒ的具体指向仍由Rx和
Ry的正负确定，合力的作用点在力
系的汇交点。
例题：如图所示，在O点作用有四个平面汇交力，已知F1＝100N，
F2＝100N，F3＝150N，F4＝200N，试求该力系的合力。
需注意的是，所选坐标系不同，力系合成的结果一样，但繁简
程度也不同，解题时，将坐标轴选取在与尽可能多的力垂直或平行的方向，可简化运算过程
第二节 力对点之矩
第二章 平力系的简化与合成
