（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含答案
一、选择题
1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A．5 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
B．45 3C．3 D．4
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM． ∵OD=AD=3，DE⊥OA， ∴OE=EA=
1OA=2． 2由勾股定理得：DE=5．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
BFxCM2?xBFOFCMAM ?， ??， ?∴，即，解得：
2DEOEDEAE525BF?5?2?x?5． ?x，CM? 22∴BF+CM=5． 故选A．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】
B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1
根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 所以答案为：D． 【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.
3．已知抛物线W:y?x2?4x?c，其顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线W绕原点旋转180?得到抛物线W'，点A,B的对应点分别为A',B'，若四边形ABA'B'为矩形，则
c的值为（ ）
A．?3 2B．3 C．
3 2D．
5 2【答案】D 【解析】 【分析】
4?c)，,B'(0，?c)，结合矩形的性质，列出关于c的方先求出A(2，c-4)，B(0，c)，A'(?2，程，即可求解．
【详解】
∵抛物线W:y?x?4x?c，其顶点为A，与y轴交于点B，
2∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W绕原点旋转180?得到抛物线W'，点A,B的对应点分别为A',B'，
4?c)，,B'(0，?c)， ∴A'(?2，∵四边形ABA'B'为矩形， ∴AA'?BB'，
∴?2?(?2)???(c?4)?(4?c)??(2c)2，解得：c?故选D． 【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
225． 2
4．二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c为常数，且a?0)中的x与y的部分对应值如表：
x ··· ··· ?1 ?1 0 1 3 3 ··· ··· y 3 5 下列结论错误的是( ) A．ac?0 的一个根；
C．当x?1时，y的值随x值的增大而减小； D．当-1 B．3是关于x的方程ax??b?1?x?c?02ax2??b?1?x?c?0. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】 解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知： 当x??1时，y??1，即a?b?c??1， 当x?0时，y?3，即c?3， 当x?1时，y?5，即a?b?c?5， ?a?b?c??1?联立以上方程：?c?3， ?a?b?c?5??a??1?解得：?b?3， ?c?3?∴y??x?3x?3； A、ac??1?3??3?0，故本选项正确； B、方程ax??b?1?x?c?0可化为?x2?2x?3?0， 22将x?3代入得：?32?2?3?3??9?6?3?0， ∴3是关于x的方程ax??b?1?x?c?0的一个根,故本选项正确； 2C、y??x2?3x?3化为顶点式得：y??(x?)?∵a??1?0，则抛物线的开口向下， 32221， 433时，y的值随x值的增大而减小；当x?时，y的值随x值的增大而增大；22故本选项错误； ∴当x?D、不等式ax??b?1?x?c?0可化为?x2?2x?3?0，令y??x2?2x?3， 2由二次函数的图象可得：当y?0时，-1 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键． 5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是( ) A．①② 【答案】D 【解析】 【分析】 B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 根据抛物线的开口方向可得出a的符号，再由抛物线与y轴的交点可得出c的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x?1、 x??1、x??3时的情况进一步综合判断即可． 【详解】 由图象可知，a＜0，c=1， ?对称轴：x= ∴b=2a， b??1， 2a①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确； ②由图可知：当x=?1时，y＞1，∴a?b+c＞1，正确； ③abc=2a2＞0，正确； ④由图可知：当x=?3时，y＜0，∴9a?3b+c＜0，正确； ⑤c?a=1?a＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 6．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( ) A．1 【答案】D 【解析】 【分析】 B． 1 2C． 4 3D． 4 5求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】 解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k， ∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)， ∴OC＝k， ∵△ABC的面积＝比为1：4， 111AB?OC＝AB?k，△ABD的面积＝AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积2221(4﹣k)， 44解得：k＝． 5∴k＝
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