第三章 刚体的转动
3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即???k?，式中k为比例常数。初始角速度为?0，求： （1）飞轮角速度随时间变化的关系；
（2）角速度由?0减为?02所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。
解：（1）由??分离变量
d?d?，???k? dt???kdt，并由初始条件t?0,???0；
等式两边积分
（2）当角速度由?0减为由??d?，???0e?kt dt?02时
分离变量 d???0e?ktdt，并由初始条件t?0，??0；等式两边积分 代入t?1ln2，得飞轮转过的角度 k飞轮转过的转数 N????0 2?4?k3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为at，法向加速度为an，试证明anat?2?，?为任意时间内转过的角度。
解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为R，则该点的 法向加速度为 an??2R 切向加速度为 at?R?
2?2?????0?，且?0?0,?0?0 又?2??03-3 一根质量为m，长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为?，求杆转动时受摩擦力矩的大小。
解：设杆的线密度为?。在杆上取一线元距转轴为r，质量为dm??dr。该线元在转动时受桌面摩擦力为
?摩擦力方向与r垂直，故线元受摩擦力矩的大小为 杆转动时受摩擦力矩的大小为
又m??l M?1?mgl 23-4 如图所示，一长为l，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转
动。开始杆与水平方向成某一角度?，处于静止状态，释放后，杆绕O轴转动。当杆转到水平位
解：两小球对水平转轴的转动惯量为
置时，求系统所受的合外力矩M与系统的角加速 题3-4图度?大小。
当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外 力矩为
由刚体的转动定律 M?J?3-5 如图(a)所示，一轻绳绕于半径
与轴承之间的摩擦不计。
题3-4图
r?0.2m的飞轮边缘，现以恒力F?98N 拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。 已知飞轮的转动惯量为J?0.5kg?m2，飞轮 （1） 求飞轮的角加速度；
题3-5图
（2） 求绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能； （3） 这动能和拉力F所做的功是否相等？为什么？
（4） 如以重量P?98N的物体m挂在绳端，如图(b)示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下5m时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体
m所做的功是否相等？为什么？
解：恒力F作用于飞轮的力矩 （2）绳子拉下5m时，飞轮
（1）由刚体转动第二定律M?J?，飞轮 转过的角度的角加速度
??l?25rad 题3-5图(a) 题3-5r图(b)
设经过的时间为t，则
飞轮的角速度 ???t?44.3rad?s?1 飞轮获得的动能 Ek?1J?2?490J 2（3）拉力F所做的功为 A?Fl?490J 与飞轮获得的动能相等
（4）若在绳端挂98N重量的物体
?T?r?J???P?T?maP?则有 ? 解得 ????21.8rad?s?2
J?a?r??mr??r?T?T?绳子拉下5m时，飞轮的角速度为??，由t??l2?，??
r????飞轮获得动能 Ek1J??2?272.4J 2重力对物体所做的功 A??Pl?490J
???物体所获动能 Ek1212mv?m???r??217.8J 22重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。
3-6 如图所示，两物体的质量分别为m1和m2，滑轮转动惯量为J，半径为r，则
（1） 若m2与桌面间滑动摩擦系数为?，求 系统的加速度a及绳中张力（设绳不可伸长， 绳与滑轮间无相对滑动）；
（2） 如m2与桌面为光滑接触，求系统的加 速度与绳中张力；
（3） 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题3-6图
解：（1）若m2与桌面滑动摩擦系数为?，则有如下方程组 解得 a??m1??m2?gJm1?m2?2r
（2）若m2与桌面光滑接触，则有
大学物理习题选解
