1981年~2024年全国高中数学联赛试题分类汇编
逻辑部分
2014B 3、对于实数R的任意子集U，我们在R上定义函数fU(x)???1,x?U，如果A,B是
?0,x?U实数R的两个子集，则fA(x)?fB(x)?1，的充分必要条件是 ◆答案：A,B互为补集
★解析：对于任意的x?R，fA(x)?fB(x)?1，这说明fA(x),fB(x)中至少有一个是1，即
x?A?B，所以A?B?R，另一方面，fA(x),fB(x)中仅有一个是1，即A?B??，从而A,B互为补集。
2001*15、（本题满分
20
分）用电阻值分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6
(a1?a2?a3?a4?a5?a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图
设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri?ai ，i?3,4,5,6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小． 证明如下：
111??．故交换二电阻的位RR1R2置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1?R2．
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：
RR?R1R3?R2R3R1R2?R3?12．
R1?R2R1?R2显然R1?R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一RAB?个．
3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：
RR?R1R3?R1R4?R2R3?R2R4111． ???12RCDRABR4R1R2R4?R1R3R4?R2R3R4若记S1?1?i?j?4?RiRj，S2?1?i?j?k?4?RiRjRk．则S1、S2为定值．于是RCD?S2?R1R2R3．
S1?R3R4只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4?R3，R3?R2，R3?R1，即得
总电阻的阻值最小．
4°对于图3，把由R1,R2,R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使
R6?R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5?R4，且应使RCD最
小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4?R3?R2且R4?R3?R1．
这就说明，要证结论成立
221998*4、设命题P:关于x的不等式a1x?b1x?c1?0与a2x?b2x?c2?0的解集相同；命
a1b1c1??。则命题Q（ ） a2b2c2A.是命题P的充分必要条件 B.是命题P的充分条件但不是必要条件
C.是命题P的必要条件但不是充分条件 D.既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要
题Q:条件
◆答案：D
★解析：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为?1，否定A、B，选D
1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
A.1个 B.2个 C. 50个 D. 100个 ◆答案：D
★解析：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．
1994*2、给出下列两个命题：
(1)设a,b,c都是复数，如果a?b?c，则a?b?c?0； (2)设a,b,c都是复数，如果a?b?c?0，则a?b?c． 那么下述说法正确的是（ ）
A.命题(1)正确，命题(2)也正确 B.命题(1)正确，命题(2)错误 C.命题(1)错误，命题(2)也错误 D.命题(1)错误，命题(2)正确 ◆答案：B
★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a?b?c，成立时，a?b与c都是实数，故此时
222222222222222222a2?b2?c2?0成立；
222222222 ⑵ 当a?b?c?0成立时，a?b?c是实数，但不能保证a?b与c都是实数，
222故a?b?c不一定成立．故选B．
1988*4．已知三个平面?、?、?，每两个之间的夹角都是?，且????a，????b，
????c，．若有命题甲：???3； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 ◆答案：C
??★解析：a、b、c平行或交于一点．当a//b//c时，
选C．
1985*1、 假定有两个命题：
甲：a是大于0的实数；乙：a?b且a?1?3．当它们交于一点时，?3????,
?b?1．那么( )
A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ◆答案：B
★解析：由于a?b且a?b成立时，必有a?0,b?0．故由乙可得甲，故选B
1985*10、 对任意实数x,y，定义运算x?y为x?y?ax?by?cxy，其中a,b,c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1?2?3，2?3?4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x?d?x，则d? ． ◆答案：4
★解析：ax?bd?cdx?x．取x?0，代入得，bd?0，但d?0，故b?0， a?2b?2c?3，2a?3b?6c?4．a?5,c??1．取x?1代入，得d?4．
经验算：x?y?5x?xy，对于一切x，有x?4?5x?4x?x成立．故d?4．
1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例。 ⑴若P,Q是直线l同侧的两不同点，则必存在两个不同的圆，通过P,Q且与直线l相切； ⑵若a?0,b?0，且a?1，b?1，则logab?logba?2；
⑶设A,B是坐标平面上的两个点集，Cr??x,y?x2?y2?r2，若对任意r?0，都有
?1?1??Cr?A?Cr?B,则必有A?B。
★解析：⑴若PQ//l，则只能作出一个圆过P,Q且与直线l相切； ⑵ 若a?1,0?b?1，则logab?logba??2；
⑶ A??x,y?x2?y2?r2，A??x,y?0?x2?y2?r2，于是?Cr?A??Cr?B恒成立，但不满足A?B．
1983*1、 设p,q是自然数，条件甲：p?q是偶数；条件乙：p?q是偶数．那么（ ） A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ◆答案：C
★解析：p?q??p?q?p?pq?q332333?????2?．又p?q?p?q?2q，故p?q与p?q的奇
33偶性相同．∴ p?q为偶数，得p?q为偶数，p?q为偶数． p?q为奇数，p,q一奇一偶，p?q为奇数．故选C．
1982*8、 当a,b是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：?a?23??1??1???b??，乙：a??b?1?2???a?b??ab??， 丙：??，中间，值最大的一个是（ ） a?b?ab??2?A．必定是甲 B．必定是乙
C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a,b的取值有关 ◆答案：D
★解析：甲>乙，但甲、丙大小不确定．故选D．
1981*1、条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．则下列正确的是（ ）
A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件
C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ◆答案：B
★解析：乙?甲，但甲??乙，故选B.
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1981年~2024年全国高中数学联赛试题分类汇编(10)逻辑(Word版,含答案)
