第十一章 恒定电流的磁场
11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，求它们在O点处的磁感应强度B。
（1）高为h的等边三角形载流回路在三角形的中心O处的磁感应强度大小为 ，方向 。
（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R的圆弧形，圆心O点的磁感应强度大小为 ，方向 。
A A
I O I O I B 120o R C D I E
B I （a）
C
（b）
图11–1
解：（1）如图11-2所示，中心O点到每一边的距离
1为OP?h，BC边上的电流产生的磁场在O处的磁感应
3强度的大小为
A ?IBBC?0(cos?1?cos?2)
4πd?I O ?1 B P I 图11–2
I ?0I4πh/3(cos30??cos150?)?33?0I 4πh?2 C 方向垂直于纸面向外。
另外两条边上的电流的磁场在O处的磁感应强度的大小和方向都与BBC相同。因此O处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即
B?3BBC?333?0I93?0I ?4πh4πh方向垂直于纸面向外。
（2）图11-1（b）中点O的磁感强度是由ab，bcd，de三段载流导线在O点产生的磁感强度B1，B2和B3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式
?IB?0(cos?1?cos?2)
4πd可得载流直线段ab，de在圆心O处产生的磁感强度B1，B3的大小分别为
B1??I3(cos0??cos30?)?0(1?) ?2πR24??Rcos60)?I3(cos150??cos180?)?0(1?) ?2πR24πRcos60?0I?0IB3?B1?方向垂直纸面向里。
半径为R，圆心角?的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为
?I?B?0
4πR1圆弧bcd占圆的，所以它在圆心O处产生的磁感强度B2的大小为
32π?I0?I?3??0I B2?0?4πR4πR6R方向垂直纸面向里。
因此整个导线在O处产生的总磁感强度大小为
?I?I?I33?0IB?B1?B2?B3?0(1?)?0(1?)??0.210
2πR22πR26RR方向垂直纸面向里。
11–2 载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求点O的磁感强度B。 图（a）中，Bo= 。 图（b）中，Bo= 。 图（c）中，Bo= 。
y R I x I z y y R I z O O I x R I z O x I （c）
（a） （b） 图11–3
?I?解：载流圆弧导线在圆心O处激发的磁感强度大小为B?0，式中?为载流圆弧导线所张
4πR的圆心角，R为圆弧的半径，I为所载电流强度。半无限长载流导线在圆心O处激发的磁感
?I强度大小为B?0，磁感强度的方向依照右手定则确定。图11–3（a）中O处的磁感应强
4πR度BO可视为由两段半无限长载流导线及载流半圆弧激发的磁场在空间点O的叠加，根据磁场的叠加原理，对于在图（a），有
?I?I?I?I?IBo??0j?0k?0j??0k?0j
4πR4R4πR4R2πR同样的方法可得
对于图（b），有
?I?I?I?I?I1Bo??0j?0k?0k??0(1?)k?0j
4πR4R4πR4Rπ4πR对于图（c），有
?I3?I?IBo??0j?0k?0i
4πR8R4πR11–3 已知磁感应强度B=2.0Wb/m2的均匀磁场，方向沿x轴正向，如图11-4所示，则通过abcd面的磁通量为 ，通过befc面的磁通量为 ，通过aefd面的磁通量为 。
解：匀强磁场B对S的磁通量为
????SB?dS?BScos?，设各平面S的法线向外，则
?abcd?BScosπ??BS??2.0?0.4?0.3Wb
= ?0.24Wb
a 30cm 40cm y b 30cm e B O f x 50cm c 通过abcd面的磁通量为
通过befc面的磁通量为
?befc?BScos?0
通过aefd面的磁通量为
π2z d 图11–4
?aefd?BScos??2.0?0.5?0.3?Wb= 0.24Wb
11–4 磁场中某点处的磁感应强度B=0.40i－0.20j（T），一电子以速度v=0.50×106i+1.0×106j（m/s）通过该点，则作用于该电子上的磁场力F= 。
45解：电子所受的磁场力为
F= ?e(v×B)=－1.6×10–19×（0.50×106i+1.0×106j）×(0.40i－0.20j)=8?10?14 k（N） 11–5 如图11-5所示，真空中有两圆形电流I1 和 I2 以及三个环路L1 L2 L3，则安培环路定理的表达式为
?B?dl= ，?B?dl= ，
L1L2L2
L1
I1
I2
?B?dl= 。
L3解：由安培环路定理可得
??L1B?dl=??0I1；
L2
L3 图11–5
?L3B?dl=0。 ??L2B?dl=?0(I1?I2)；?11–6 一通有电流I的导线，弯成如图11-6所示的形小为 ，方向为 。
I R O I
L B I
I
L y dF1y I d? R O B ? 状，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里，则此导线受到的安培力大
dF1 dF1x
x I 图11–6
图11–7
解：建立如图11-7所示坐标系，导线可看成两段直导线和一段圆弧三部分组成，两段直导线所受安培力大小相等，方向相反，两力的矢量和叠加后为零。在半圆弧导线上任取一
电流元Idl，所受安培力大小dF=Idl?B?IdlBsin90??IBdl，方向沿半圆的半径向外。将dF分解为dF?（垂直于x轴）和dF//（平行于x轴），由对称性可知，半圆弧导线所受安培力的水平分量相互抵消为零，即
F//?dF//?0
?其垂直分量
F??dF??dFsin??IBdlsin??BIRsin?d??2BIR
0方向沿y轴正方向。因此，整段导线所受安培力F=F??2BIR。方向沿y轴正方向。
11–7 图11-8中为三种不同的磁介质的B～H关系曲线，其中虚线表示的是B=?0H的关系，说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B～H关系曲线：
a 代表 的B～H关系曲线； b代表 的B～H关系曲线； c代表 的B～H关系曲线。
答：对各向同性的均匀磁介质，顺磁质或抗磁质有，B=?0?rH，B与H成正比关系，?r为常数，因此曲线bc代表顺磁质或抗磁质。又因为顺磁质的?r >1，抗磁质的?r<1，所以顺磁质的曲线斜率较大，故可进一步判断曲线b代表顺磁质，曲线c代表抗磁质，曲线a中B与H成非线性关系，表明该磁介
O 题11–8图
c H b B a ????π质的?r随H发生变化，不是常数，这是铁磁质的性质，所以曲线a代表铁磁质。
11–8 一无限长圆柱体均匀通有电流I，圆柱体周围充满均匀抗磁质，与圆柱体表面相邻的介质表面上的磁化电流大小为I′，方向与I的方向相反。沿图11-9中所示闭合回路，则三个线积分的值分别为
??lH?dl? ，
I′ I I′ ??lB?dl? ，
??lM?dl? 。
解：由H的安培环路定理，得由B的安培环路定理，得由关系式H?B??lH?dl?I。
??lM?dl??I?。
图11–9
l ??lB?dl??0(I?I?)。
?0?M及上述二式，得
11–9 半径为R1的圆形载流线圈与边长为R2的正方形载流线圈，通有相同的电流I，若两线圈中心O1与O2的磁感应强度大小相同，则半径R1与边长R2之比为[ ]。
A．2π:8 B．
2π:4 C．2π:2 D．1:1
解：设两载流线圈中电流I的方向均为顺时针方向，半径为R1的圆形载流线圈在中心O1点产生的磁感应强度大小为
?IB1?0
2R1方向垂直纸面向里
边长为R2的正方形载流线圈在中心O2点产生的磁感应强度是各边在该点产生的磁感应强度的叠加，由于各段导线产生的磁感应强度方向相同，均为垂直纸面向里，所以O2点的
磁感应强度大小是各边在该点产生的磁感应强度大小的代数和，有
B2??0I4πR2/2(cos45??cos135?)?4?22?0I πR2由于B1= B2，即
?0I2R1?22?0I πR2因此
R12π? R28因此，正确答案为（A）。
11–10 如图11-10所示，在一磁感应强度为B的均匀磁场中，有一与B垂直的半径为R的圆环，则穿过以该圆环为边界的任意两曲面S1，S2的磁通量?1，?2为[ ]。
A．??R2B，??R2B B．??R2B，?R2B C．?R2B，??R2B D．?R2B，?R2B
解：半径为R的圆分别与曲面S1，S2构成一闭合曲面1，2，规定曲面外法向为曲面面元的正方向，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，则对闭合曲面1有
ò??SB?dS???B?dSR???B?dS1??πR由此可得
2B???B?dS1?0
S2 S1 R B 图11–10
?1???B?dS1?πR2B
同理，对闭合曲面2有
ò??SB?dS???B?dSR???B?dS2?πR由此可得
2B???B?dS2?0
?2?因此，正确答案为（C）。
??B?dS2??πR2B
11–11 如图11-11所示，有两根无限长直载流导线平行放置，电流分别为I1和I2，L是空间一闭曲线，I1在L内，I2在L外，P是L上的一点，今将I2 在L外向I1移近时，则有[ ]。
A．B?dl与BP同时改变
?LLI2
P I1 ?C．?B?dl不变，B改变 D．?B?dl改变，B不变
LB．B?dl与BP都不改变
P
L LP
解：由真空中的安培环路定理，
?LB?dl??0?I，?I表
图11–11
示穿过回路的电流的代数和，积分回路外的电流I2不会影响磁感应强度沿回路的积分，但会改变回路上各点的磁场分布，则BP改变。因而（C）正确。
11–12 对于介质中的安培环路定理
?LH?dl??I，在下面说法中正确的是[ ]。
川师大学物理第十一章恒定电流的磁场习题解
