12&2?
mgr1?cosθ=mrθ()
解：将脱离时滑过相应角度为θ，此时满足：?2?
?mgrθ&2=mgrcosθ?
可解得：θ=arccos
23
20一钢丝弯成尖端朝上的摆线：x=a(??sin?),z=a(1+cos?)，上面穿有一质量为m的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为υ0的初速度，开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成α角度时，小环的速率υ。已知小环与钢丝的摩擦系数为μ。解：小环运动时，依受力分析知：
对钢丝的正压力为
N=mgcosα+mυ2
其
ρdz&zsin??又因为：tanα==d?=?=?cot
&dxx1?cos?2
d?得：?=2α+π?d?=4acosαdα2dl?代入：?=2α+π,ρ==4asin=4acosαdα2
dl=dx2+z2=2asin
2mυ得：N=mgcosα+
4acosα则损失能量：dQ=μNdl=μ(mgcosα+T2acosα)4acosαdα再依能量守恒：d(T+Q+V)dα=0
&+2μT+2mga(μcos2α+sin2α+μ)=0得：T
T=
?2μdα2μdα1
mυ2=e∫[C?2mga∫(μcos2α+sin2α+μ)e∫dα]LL*12
（其中V=mgz=mga(1+cos?)）
?2μdα现进行积分：e∫=e?2μα12μα(ecos2α+2∫sin2αe2μαdα)2μ12μα2μαsin2αedα=(esin2α+2∫cos2αe2μαdα)∫2μ2μα∫cos2αedα=
μ?2μα2μαcos2αedα=cos2αe?∫2
2μ+1?
解出：?
?sin2αe2μαdα=μsin2α?cos2αe2μα2
?∫2μ+1?
()()代入*1得：
T=
?2μdα1mga2μαmυ2=e∫{C?2e[μsin2α+(μ2?1)cos2α+(μ2+1)]}LL*22μ+1
112mgaμ222
代入t=0,α=0,T0=mυ0得：C=mυ0+2
2μ+12
再将C代入*2得：
112mgaμ2?2μαmga22
mυ=(mυ0+2)e?2[μsin2α+(μ2?1)cos2α+(μ2+1)]22μ+1μ+1
14gaμ2?2μα2ga
故：υ={(υ0+2)e?2[μsin2α+(μ2?1)cos2α+(μ2+1)]}2μ+1μ+1
2
21如图所示，用细线将一质量为m′的圆环悬挂起来，环上套有两个质量都是m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时从大环顶部由静止向两边滑动，证明如果m>3m′2，大环将升起；此时角θ是多少？
解：小环因重力对m′的压力N=mgcosθ。而小环运动所需向心力必由
mυ2
m′对m的弹力F与重力提供，满足：N+F=（法向）
r
又依能量守恒知：mυ2=mg(1?cosθ)
且依两环的对称性知，大环受合力向上，且大小为：
12
mυ2
F合=（2?N)cosθ=2[2mg(1?cosθ)?mgcosθ]cosθr
当大环升起须满足：F合>m′g故得方程：2mg(2?3cosθ)cosθ>m′g
m′1113m′2当满足m>3m′2时，升起时角度满足3cos2θ?2cosθ+
解出：
13m′13m′(1?1?) 3 3m′)]2mm′<02m 则刚升起时：θ=arccos[(1+1?第二章有心运动和两体问题 斗转星移，粒子变迁，乃至整个宇宙的各种运动均受着“上帝”的安排----力的大小与距离平方成反比定律。在此解析几何的空间曲线将一展风情。【要点分析与总结】 1有心力和有心运动 rrrr F=F(r)=F(r)err（1）有心运动的三个特征：平面运动 r 动量守恒(M≡0) 机械能守恒(E=T+V) （2）运动微分方程 &2)=F?m(&&r?rθ(r)? ?&&&??mrθ+2rθ=Fθ() 可导出： F(r)?2&&&?r?rθ= m? &=（?r2θhh为常量）??1 &2+r2θ&2)+V(r)=E（机械能守恒）?m(r?2 2 ?122du?mhu(+u)=F(比内公式,u=)?(u) dθ2r? 〈析〉h= L0 是一个恒量，解题时应充分利用。恰当运用会使你m绝处逢生，可谓是柳暗花明又一村的大门。2距离平方反比引力作用下的质点运动 k2 F=?2=?k2u2 rmh2 可由比内公式导出：r= （p=mh2 1+mh2 k2 pk2 = Acos(θ?θ0)1+ecos(θ?θ0) ,e=pA,A,θ0为由初始条件决定的常量）k2pp近日点：rm=远日点：rM= 1+e1?ek4 且E=T+V=(e2?1)2 2mh1pk2 可得半长轴长：a=(rm+rM)==?2 21?e2E〈析〉用a来求E，进而得出运动规律，即便是开普勒三定律亦是须臾即得。 2距离平方反比斥力作用下的质点运动（粒子散射）的双曲线模型 k2 F=2 r（k2= Qq）4πε0 可导出：r= ?p1?ecos(θ?θ0) 1? 散射角：?=π?2arccos??? ?e? 2 ???4πε0mυ0cos??=ρ2Qq?? 卢瑟福散射公式： dσ1Qq21 =() d?44πε0sin4?2 （式中散射截面：dσ=2πρdρ，立体角：d?=2πsin?d?将散射角公式两侧微分并代入即得散射公式）4质点运动轨道的讨论（1）圆轨道的稳定条件
理论力学简明教程第二版陈世民答案
