精选
2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( ) 137
A. B. C. D．5 222
解析：如图所示，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，当点P与双曲线右37支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
22
可编辑
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答案：C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( ) 11A．－ B．－4 C．4 D. 44答案：A
3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( ) A．y＝±3x
1
B．y＝±x
3D．y＝±
33
C．y＝±3x x
解析：令x2－＝0，则y＝±
3答案：C
y2
3x.
4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为方程为( )
A.－＝1 44C.－＝1 88
2的双曲线的标准
x2y2
B.－＝1 44D.－＝1 88
y2x2
x2y2y2x2
可编辑
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解析：由离心率为所以e2＝2＝
2， ＝1＋
c2a2＋b2
a2
b2a2
a＝2，
即a＝b，
故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
88答案：D
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )
A.
5
5 B. C.
2
3 D．2
y2x2
1a1
解析：由题意知，这条渐近线的斜率为，即＝，
2b2
而e＝＝
ca?b?2
1＋??＝1＋22＝5.
?a?
答案：A 二、填空题 6．与双曲线x2－
y2
4
＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是
__________________________________________．
解析：依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，
4将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
312
y2
x2y2
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答案：－＝1
312
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
4k解析：双曲线方程可变为
x2y2
x2y2
x2
4
－
＝1， －ky2
则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝
ca＝
4－k， 2
又因为e∈(1，2)，则1＜答案：(－12，0)
4－k＜2，解得－12＜k＜0. 2
8．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝_______________________________________________．
答案：y＝±x
12三、解答题
9．焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是
5
135
，则其渐近线方程为
2，求此双曲线的标准方程．
2
解：设双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(
a，0)，(－2a，0)．
所以
2a＝2
2，a＝
2.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
22
10．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，12
3，其离心率为2，求双曲线的标准方程． 解：设双曲线方程为2－
＝
x2y2
x2y2
ab2
＝1.
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因|F1F2|＝2c，而e＝＝2.
ca由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c. 由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝ (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)， 化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|. 又
1
＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝122
3，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12. 故所求双曲线的方程为－＝1.
412
B级 能力提升
1．若0＜k＜a2，则双曲线A．相同的虚轴 C．相同的渐近线 答案：D 2．求与双曲线
x2y2
x2
a2－kb2＋k－
y2
＝1与2－
x2y2
ab2
＝1有( )
B．相同的实轴 D．相同的焦点
x2
16
－
y2
9
＝1共渐近线且过A(33，－3)的双曲线的方程
_____________________________________________________．
解析：设与2－2＝1共渐近线且过A(3
43（3
3）2（－3）2
－＝λ， 4232
11x216y2从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1.
161199
x2y2
3，－3)的双曲线的方程为2－2＝λ，则
43
x2y2
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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3-2_3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质练习 新人
