精选
2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( ) 137
A. B. C. D.5 222
解析:如图所示,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,当点P与双曲线右37支顶点M重合时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=.
22
可编辑
精选
答案:C
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( ) 11A.- B.-4 C.4 D. 44答案:A
3.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是( ) A.y=±3x
1
B.y=±x
3D.y=±
33
C.y=±3x x
解析:令x2-=0,则y=±
3答案:C
y2
3x.
4.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点P(1,3),离心率为方程为( )
A.-=1 44C.-=1 88
2的双曲线的标准
x2y2
B.-=1 44D.-=1 88
y2x2
x2y2y2x2
可编辑
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解析:由离心率为所以e2=2=
2, =1+
c2a2+b2
a2
b2a2
a=2,
即a=b,
故设所求双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ≠0), 又点P(1,3)在双曲线上,则λ=1-9=-8, 所以所求双曲线的标准方程为-=1.
88答案:D
5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为( )
A.
5
5 B. C.
2
3 D.2
y2x2
1a1
解析:由题意知,这条渐近线的斜率为,即=,
2b2
而e==
ca?b?2
1+??=1+22=5.
?a?
答案:A 二、填空题 6.与双曲线x2-
y2
4
=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是
__________________________________________.
解析:依题意设双曲线的方程x2-=λ(λ≠0),
4将点(2,2)代入求得λ=3,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
312
y2
x2y2
可编辑
精选
答案:-=1
312
7.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是________.
4k解析:双曲线方程可变为
x2y2
x2y2
x2
4
-
=1, -ky2
则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=
ca=
4-k, 2
又因为e∈(1,2),则1<答案:(-12,0)
4-k<2,解得-12<k<0. 2
8.若双曲线中心在原点,焦点在y轴,离心率e=_______________________________________________.
答案:y=±x
12三、解答题
9.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是
5
135
,则其渐近线方程为
2,求此双曲线的标准方程.
2
解:设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),则它的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为(
a,0),(-2a,0).
所以
2a=2
2,a=
2.
所以双曲线的标准方程为-=1.
22
10.F1、F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,12
3,其离心率为2,求双曲线的标准方程. 解:设双曲线方程为2-
=
x2y2
x2y2
ab2
=1.
可编辑
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因|F1F2|=2c,而e==2.
ca由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 由余弦定理,得
(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2= (|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°), 化简,得4c2=c2+|PF1|·|PF2|. 又
1
=|PF1|·|PF2|·sin 60°=122
3,
所以|PF1|·|PF2|=48.
即3c2=48,c2=16,得a2=4,b2=12. 故所求双曲线的方程为-=1.
412
B级 能力提升
1.若0<k<a2,则双曲线A.相同的虚轴 C.相同的渐近线 答案:D 2.求与双曲线
x2y2
x2
a2-kb2+k-
y2
=1与2-
x2y2
ab2
=1有( )
B.相同的实轴 D.相同的焦点
x2
16
-
y2
9
=1共渐近线且过A(33,-3)的双曲线的方程
_____________________________________________________.
解析:设与2-2=1共渐近线且过A(3
43(3
3)2(-3)2
-=λ, 4232
11x216y2从而有λ=,所求双曲线的方程为-=1.
161199
x2y2
3,-3)的双曲线的方程为2-2=λ,则
43
x2y2
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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3-2_3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质练习 新人
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