第23届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准
一、参考解答：
解法一
小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示．设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为hA，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点.现以?表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），?1表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），（也就是?2表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）.显然，
O t
h H hA T ?1??2??.根据题意，在时间间隔??的起始时刻和终了时
刻小球都在A点．用n表示时间间隔 ???内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）.下面分两种情况进行讨论：
1．A点不正好在最高点或最低点． 当n为奇数时有
T??n?1??1??n?1??2??n?1?? n?3,5,7, （1）
在（1）式中，根据题意?1可取0??1??中的任意值，而
当n为偶数时有
由（3）式得
?2????1
（2）
T?n?2??n?2??1?n?1??n?2??2 n?2,4,6, （3）
?1??2
（4）
由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有
T??n?1?? n?2,3,4,因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为
（5）
11?T? Hn?g?2?g?? n?2,3,4,22?n?1?2 （6）
若用Hn表示与n对应的H值，则与Hn相应的A点到玻璃管底部的距离 hA?Hn?12g?1 n?2,3,4,2 （7）
当n为奇数时，?1可取0??1??中的任意值，故有
2?1?T?? 0?hA?Hn ?Hn?g? · · （8） ?? n=3,5,7,·
2?n?1?????可见与Hn相应的hA的可能值为0与Hn之间的任意值．
当n为偶数时，?1??，由（6）式、（7）式求得Hn的可能值
123 hA?Hn
42．若A点正好在最高点或最低点． 无论n是奇数还是偶数都有
2?1?T?? · · （9） ?Hn?g??? n=2,4,6,·
2?n?1????? T?2?n?1?? n=2,3,4,· · ·
（10）
11?T? Hn?g?2?g? · · ? n=2,3,4,·
22??2?n?1???2????1T?? hA?Hn ?Hn?g? · · ?? n=2,3,4,·
2???2?n?1??????2（11）
或
（12）
hA?0
（13）
解法二
因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小球通过某个位置的周期性．
设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为??，从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为?1，从A点下落至管底所需时间为?2，则
???1??2
（1）
（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是?、?1和?2）
从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间2?2后上升至A点，再经过时间2?1后又落到A点，此过程所需总时间为2?1?2?2?2?．以后小球将重复这样的运动．小球周期性重复出现在A点的周期是多少？ 分两种情况讨论：
（1）． ?1??2，?1和?2都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2?．
（2）． ?1??2，小球经过时间2?2??回到A点，再经过时间2?1??又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为?．
下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离hA的可能值．（如果从小球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是?1和?2对调一下）
1．H的可能值
（1）．较普遍的情况，?1??2．T与2?的比值应为一整数，?的可能值应符合下式
T?k， k?1,2,3,2? （2）
由自由落体公式可知，与此相应的Hk的数值为
11?T? Hk?g?2?g?? k?1,2,3,22?2k?（2）．?1??2．?的可能值应符合下式
2 （3）
故Hk?的可能值为
T??k? k??1,2,3, （4）
当k?为偶数时，即k??2,4,6,11?T?Hk??g?2?g?? k??1,2,3,22?k??2 （5）
时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的H的可能值包含
时，由（5）式得出的H的
了?1??2的全部情况和?1??2的一部分情况．当k?为奇数时，即k??1,3,5,可能值为
1?T?Hk??g?? k??1,3,5,2?k??2 （6）
它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值． 2．与各H值相应的hA的可能值 a.与Hk相应的hA的可能值
由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故hA的数值可取0和Hk之间的任意值，即
2?1?T??0?hA?Hk ?Hk?g??? k?1,2,3,2?2k????? （7）
b. 与Hk?（k?为奇数）相应的hA的可能值 这些数值与A位于特定的位置，?1??2?值，它们是
?2，相对应，所以对于每一个Hk?对应的hA是一个特定
1?1T?hA?Hk??g??
2?2k??22?1?T???Hk??g??? k??1,3,5,2?k?????? （8）
评分标准：
本题23分
二、参考解答：
1． 求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度
设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为vA、vB、vC、vD，并设它们的方向都与v0的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有
碰撞前后质点组的角动量守恒，有
Mv0?MvA?3mvC
0?mlvC?2mlvD
（1） （2）
这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有
1112121222Mv0?MvA+mvB?mvC?mvD 22222因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有
和
（3）
vB?vC=vC?vD
（4）
（5）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解
vC=0
vC?4Mv0
5M?6m（6）
因为vC也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度
vA?5M?6mv0
5M?6m（7）
2．讨论碰撞后各小球的运动
10Mv0
5M?6m2MvD??v0
5M?6mvB?（8） （9）
碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即vC?4M、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D两小球v0沿v0方向作匀速运动．由（4）
5M?6mvB?vC6Mv0 ?l5M?6ml将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为
??（10）
方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：
（i）vA=0，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 即
5M?6m?0
（11）
M6? m5（ii）vA<0，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是
M6? m5（12）
（iii）vA>0但vA?vC，即碰撞后小球A 沿v0方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 即
5M?6m?0和4M?5M?6m
（13）
6m?M?6m 5（iv）vA?vC，即碰撞后小球A仍沿v0方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是
M?6m （14） （15）
（v）vA?vC，即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿v0方向运动，发生这种运动的条件是
M?6m
在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿v0方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是
t?π???5M?6m?πl?πl6Mv0v0 （16）
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程
第23届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准
