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2?3=2?3
这是什么道理呢?
事实上,根据积的乘方法则,有
(2?3)2?(2)2?(3)2?2?3,
并且2?3>0,
所以2?3是2×3的算术平方根,即
2?3=2?3
一般地,有
a?b?ab(a≥0,b≥0).
这就是说,两个二次根式相乘,将它们的被开方数相乘.
注意,在上式中,a、b都表示非负数.在本章中,如果没有特别说明,字母都表示正数.
例1
计算:
(1)7?6;(2)
1?32. 2解(1)7?6?7?6?42.
(2)
1?32?21?32?16?4. 22.积的算术平方根
上面得到的等式a?b?ab(a≥0,b≥0),也可以写成
ab?a?b(a≥0,b≥0).
这就是说,积的算术平方根,等于各因式算术平方根的积.
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
例2
化简,使被开方数不含完全平方的因式(或因数):
(1)12;(2)4a3;(3)a4b.
解(1)12?22?3
?22?3
?23.
6
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(2)4a3?4?a2?a
?2a2?a
?2aa.
(3)a4b?a4?b
?(a2)2?b
?a2b.
例2各题中给出的二次根式,被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2,即含有完全平方
2322的因式(或因数),如(1)中12?2?3,(2)中4a?2?a?a,(3)中ab?(a)?b,
422通常可根据积的算术平方根的性质,并利用a2?a(a≥0),将这个因式(或因数)“开方”出来.
做一做
计算下列各式,并将所得的结果化简: (1)3?6;(2)3a?15a.
3.二次根式的除法
讨论
两个二次根式相除,怎样进行呢?商的算术平方根又等于什么?试参考前两小节的研究,和同伴讨论,提出你的见解.
概括
一般地,有
ab. ?________(a≥0,b>0)
这就是说,两个二次根式相除,___________________________.
例3
(1)
计算:
153;(2)
246.
解 (1)
153??15?5. 3(2)
24624?4?2. 67
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小题(2)也可先将分子化简为26,从而容易算得结果. 上面得到的等式,也可以写成
ab. ?______(a≥0,b>0)
这就是说,商的算术平方根,等于__________________.
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
例4
化简
12.(要求分母中不含二次根式,并且二次根式中不含分母)
解
12?11?2??22?2122?22222?2. 2这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方
数,再“开方”出来.
按照例2和例4的要求化简后的二次根式,被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式.
二次根式的除法,也可采用化去分母中根号的办法来进行,只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式(也是二次根式)就可以了.如例4,将分子、分母同乘以2,得
12?1?22?2?2(2)2?2. 2练习
1.化简:
(1)27;(2)25a3;(3)2.计算:
(1)21?35;(2)2b?6b;(3)
13;(4)
2. 5820;(4)
65a39a.
3.现有一张边长为5cm的正方形彩纸,欲从中剪下一个面积为其一半的正方形,问剪下的
正方形边长是多少?(答案先用最简二次根式表示,再算出近似值,精确到0.01)
习题22.2
1.化简:
(1)250;(2)32x4;(3)2.计算:
8
147;(4)
5. 6……………………………………………………………精品资料推荐…………………………………………………
(1)18?30;(2)3?2;(3)8ab?6ab3; 75(4)
4098;(5)
20?15;(6)
2x38x.
3.某液晶显示屏的对角线长36cm,其长与宽之比为4∶3,试求该液晶显示屏的面积. 4.本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式:??gR,其中g通常取9.8米/秒2,R
约为6370千米.试计算第一宇宙速度.(结果用科学记数法表示,并保留两个有效数字)
§22.3 二次根式的加减法
试一试
计算:
(1)33?23;(2)3a?2a?4a.
概括
与整式中同类项的意义相类似,我们把像33与?23,3a、?2a与4a这样的几个二次根式,称为同类二次根式.
二次根式的加减,与整式的加减相类似,关键是将同类二次根式合并.
例1 解
计算:32?3?22?33.
32?3?22?33
?(32?22)?(3?33)
?2?23.
思考
计算:8?18?12.
分析
先将各二次根式化简:
8?4?2?4?2?22, 18?______________________,
12?______________________.
解 8?18?12
9
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=22?________+___________
=____________________.
二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再将同类二次根式合并.
例2
计算:
(1)27?12?45;(2)
25x?16x?9x. 4解 (1)27?12?45
?33?23?35 ?3?35.
(2)
25x?16x?9x 45x?4x?3x 25?(?4?3)x 27?x. 2例3 计算: ?(1)(2?1)(2?1); (2)(a?2b)(a?2b).
解 (1)(2?1)(2?1)
?(2)2?12?2?1?1.
(2)(a?2b)(a?2b)
?(a)2?(2b)2?a?2b.
练习
1.下列各组里的二次根式是不是同类二次根式?
(1)212,27;(2)50,38;
(3)2ab,38ab;(4)3a2b,27ab2.
10
华师大版第22章二次根式电子课本(新)
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