∵m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m+1， ∴原式=??+1=1．
20．（10分）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等． （1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）
??+1
【解答】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求． （2）如图，直线c即为所求．
21．（12分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
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（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为
14 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率=； （2）这个游戏规则不公平． 理由如下： 画树状图为：
1
4
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5， 所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率=因为＜41
516
5
， 16，
所以这个游戏规则不公平．
22．（12分）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，
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依题意，得：
500??
?
5002??
=5，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米． （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工依题意，得：0.5m+1.2（36﹣0.5m）≤40， 解得：m≥32．
答：至少安排乙工程队施工32天．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC=，AC＝12，求直径AB的长．
2
33600?50??
100
=（36﹣0.5m）天，
【解答】解：（1）连接PO，交AC于H，
∵PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵∠PCA＝∠PBA， ∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA， ∵DP∥AC，
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∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA， ∵OA＝OP， ∴∠PAO＝∠OPA， ∵AB是直径， ∴∠APB＝90°， ∴∠PAB+∠ABP＝90°， ∴∠OPA+∠DPA＝90°， ∴∠DPO＝90°， 又∵OP是半径， ∴DP是⊙O的切线；
（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°， ∴∠DPO＝∠AHO＝90°， 又∵PA＝PC， ∴AH＝HC=AC＝6， ∵tan∠PAC=
2
????2
=， ????312∴PH=3×AH＝4， ∵AO2＝AH2+OH2， ∴AO2＝36+（OA﹣4）2， ∴OA=2， ∴AB＝2OA＝13． 24．（12分）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=???，x1?x2=??． 问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 如，， ；
23
5
1
1
1
??
??13
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的
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方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y=??的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；
2
3
5
1
1
14
理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，
213
3
5
111
∴，，能构成“和谐三数组”，
2
5
11
故答案为：如，，；
2
3
5
111
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根， ∴x1+x2=???，x1?x2=??， ∴
1??1
??
??
+
1??2
=
??1+??2??1??2
=?，
??
??
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解， ∴x3=?， ∴∴
1??31??1
??
??=?，
??
??
+
1??2
=
1??3
，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y=的图象上， ∴y1=∴
1??1
444
，y2=，y3=， ????+1??+3??4
4
??=，1
??2
=
??+14
，
1
??3
=
??+34
，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∴①∴
??41??1
+
1??2
==
1??3
， ，
+
??+14
??+34
∴m＝2，
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2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷
