数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师
A、等差数列知识点及经典例题 一、数列
由an与Sn的关系求an
由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段
函数的形式表示为a?S1(n?1)n???Sn?Sn?1(n?2)。
〖例〗根据下列条件，确定数列?an?的通项公式。
分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。
解答：（1）
（2）
??
累乘故
（3）
1
可得，
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二、等差数列及其前n项和 （一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2SnSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{
1 21}是等差数列； Sn（2）求an的表达式。
分析：（1）Sn?Sn?1?2SnSn?1?0?11与的关系?结论； SnSn?1（2）由
1的关系式?Sn的关系式?an Sn1111111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2
Sn?1SnSnSn?1SnS1a1解答：（1）等式两边同除以SnSn?1得为首项，以2为公差的等差数列。
2
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（2）由（1）知
1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，an=2Sn·Sn?1=。
2n2n(n?1)SnS1?1?1?2又∵a1?，不适合上式，故an??12???2n(n?1)(n?1)。
(n?2)【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．
∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，
即2＝2p＋1－p，得p＝1.
于是2Sn＝2a2n＋an－1.
22
当n≥2时，有2Sn－1＝2a2(ann－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2an－2an－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·
1
－an－1－)＝0.
2
11n＋1
又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝.
222
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五22个量a1，an，d,n, Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为
SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。
nn222〖例〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2np?nq(n?N?,p,q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。求：
（1）p,q的值；
（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。
3
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分析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由x1=3得2p?q?3??????????????①
又x4?24p?4q,x5?25p?5q,且x1?x5?2x4，得3?25p?5q?25p?8q???????② 由①②联立得p?1,q?1。 （2）由（1）得，xn?2n?n
（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：略
典型例题
1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?225；
2.（厦门）在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ A ） A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24 4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且的正整数n的个数是（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
An7n?45a?，则使得n为整数
bnBnn?36、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.
由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，
4
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即
an＋1＋3
＝2. an＋3
所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n1＝2n1，所以an＝2n1－3.
－
＋
＋
1
7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
4
如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依
次为A、B、C、D.
17
因为xA＝，则xD＝.
4435
又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝. 4417351
故|m－n|＝|×－×|＝. 44442
8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13， 5∴d＝. 9
∴数列{an}为递增数列．
532
令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，
95
∵n∈N*.
∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－
6.若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足
29
. 3
Sn7n?3，则a8? 6 . ?Tnn?3b8 5
等差等比数列知识点梳理及经典例题
