u?uB1vB1?vA1?? t1??A1aA2?aB2aA2?aB2代入有关数据得
2l(aB1?aA1)aA2?aB2 （12）
22 t1??s=0.09s （13）
31设在时间t1?内，A与B的左壁之间的距离增大至l1，则有
??aA2t1?2?uB2t1??aB2t1?2?l1 uA1t1结合（9）、（12）两式得
l11212?ld2 （14）
式中
d?代入有关数据得 d?aB1?aA1 （15）
aA2?aB2aB1?aA1(5/2)?(9/4)1???1
aA2?aB2(9/4)?(11/2)31由（14）可知l1?l，A不会与B的右壁发生碰撞。 5. 讨论A与B的左壁的第二次碰撞。
以v1表示B与A第一次相等的速度，由于B始终受F作用而加速，它将拖着A向右加速，其情况与第一次碰撞前相似。这时作用于A的摩擦力向右，A的加速度为aA1，方向向右。作用于B的摩擦力向左，B的加速度为aB1，方向也向右。但是原来A与B左端的距离为l，现改为l1，因aA1?aB1，B的左壁与小A之间的距离将减小。设两者间的距离从l1减小至零即减小至开始发生第二次碰撞所经历的时间为t2，以l1代入⑥式，结合（14）式，即可求得
t2?代入有关数据，得 t2?222l12l?d?t1d （16）
aB1?aA1aB1?aA118??0.51s 3131第二次碰撞前瞬间A和B的速度分别为 vA2?v1?aA1t2 vB2?v1?aB1t2
第十九届全国中学生物理竞赛预赛题 第11页
vA2?vB2?(aA1?aB1)t2?(aA1?aB1)t1d?(vA1?vB1)d （17）
故第二次碰撞前A、B速度之差小于第一次碰撞前A、B的速度差。设第二次碰撞完毕的瞬间A、B的速度分别为uA2和uB2，则有
uA2?uB2??(vA2?vB2)?(vB1?vA1)d （18）
第二次碰撞后，A以加速度aA2作减速运动，B以加速度aB2作加速运动。设经历时间t2?，两者速度相等，即第二次相对静止，则有
??uB2?aB2t2? uA2?aA2t2解得
u?uB2vB1?vA1 t2??A2?d?t1?d?0.016s （19）
aA2?aB2aA2?aB2在t2?时间内，A与B的左壁的距离变为l2，有
?2?uB2t2??aB2t2?2?l2 uA2t2??aA2t2结合（8）、（9）得
l2?ld4 自B开始运动到A与B达到第二次相对静止共经历时间 T2?t1?t1??t2?t2??3.43s T2?4.0s
6. 讨论A与B的左壁的第三次碰撞。
当A与B的左壁之间的距离为l2时，A、B相对静止。由于B受外力F作用而继续加速，它将拖着A向右加速。这时，A的加速度为aA1，B的加速度为aB1，方向都向右，但因aB1?aA1，A将与B的左壁发生第三次碰撞。设此过程经历的时间为t3，则以l2代入（6）式结合（16）式得
t3?（20）
12122l22l?d2?t1d2?0.09s （21）
aB1?aA1aB1?aA1设第三次碰撞前瞬间A和B的速度分别为vA3和vB3，碰撞后的速度分别为uA3和uB3 vA3?vB3?(aA1?aB1)t3?(vA1?vB1)d2
uA3?uB3??(vA3?vB3)?(aB1?aA1)t3?(aB1?aA1)t1d2?(vA1?vB1)d2
碰撞后，A以加速度aA2作减速运动，B以加速度aB2作加速运动。设经过时间t3?两者速度相等，即
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第三次相对静止，A与B左壁之间的距离为l3。则有
u?uB3 t3??A3?t1?d2 （22）
aA2?aB2 t3?ld6
自B开始运动至第三次A与B相对静止共经历的时间T3仍小于4 s。 7. 讨论车厢左壁与小物块的第n次碰撞。
在第n?1次碰撞完毕的瞬间，A和B的速度分别为uAn－1和uBn－1，A以加速度aA2作减速运动，B
?－1，两者速度相等，即第n?1次相对静止。A与B左壁之间的距离以加速度aB2作加速运动。经过时间tn为ln－1。根据前面的讨论有
?－1?t1?dn－2 （23） tn ln－1?ld2(n－1)
再经过时间tn将发生B的左壁与A的第n次碰撞。碰撞前两者的速度分别为vAn和vBn。根据前面的讨论，有
tn?t1dn－1 （24） vAn?vBn?(vA1?vB1)dn－1
可以看出，碰撞次数越多，下一次碰撞前，A、B速度之差越小。当碰撞次数n非常大时，下次碰撞前两
者的速度趋于相等，即A实际上将贴在B的左壁上不再分开。 8. 讨论第4秒B与A的运动速度。
第4秒末B与A的速度取决于在第4秒末B与A经历了多少次碰撞。B自静止开始运动到第n次相对静止经历的总时间为
??t2?t2??L?tn－1?tn?－1?tn?tn? Tn?t1?t1??t1d?t1?d?L?t1dn－2?t1?dn－2?t1dn－1?t1?dn－1?t1?t1?)?(t1?t1?)d?(t1?t1?)d?L?(t1?t1?)d?(t1?t12n－2?)d＋(t1?t1n－1
?)?(t1?t1??以t1?22，t11?d?? （25） 1?d22代入，注意到当n很大时，d??0得 31642?3.56s （26）
31?31 T??这表明早在第4秒之前，A与B的左壁贴在一起时二者速度已相同，不再发生碰撞，此后二者即以相同的速度运动了、现以A和B都静止时作为初态，设T?4s时刻A和B的速度为V，对A、B开始运动至T?4s
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的过程应用动量定理，得
FT?(mA?mB)V （27） 或
V?代入数值，得
V?9.6m?s－1 （28）
解法二：
如果A与B之间没有摩擦力，B前进1m就会与A发生碰撞。已知开始2s为A与B未发生碰撞，而B已走了5m，可见二者之间有摩擦力存在，且在此期间二者均作匀加速运动。由s?面的加速度aB1：
5?FT
mA?mB12at可求出B对地21? aB122， aB1?2.5m?s－2 (1)2设A与B底部之间的滑动摩擦力为Ff，则由小车的运动方程 mBaB?F?Ff 代入数值得
? Ff?45N (2)又由A的运动方程得A的相对地面的加速度为 aA1?Ff? ?2.25m?s－2 (3)mA于是，A对B的相对加速度为
? aAB1?aA1?aB1??0.25m?s－2 (4)第一次碰撞
由开始运动到A碰撞B的左壁的时间t1满足s?1aAB1t12，s?1m。于是 2? t1?22s=2.83s (5)A与B的左壁碰撞前瞬间，A相对B的速度
? vAB1?aAB1t1??0.52m?s－1??0.71m?s－1 (6)由于作弹性碰撞的两个物体在碰撞前后其相对速度等值反向，所以碰后A从B的左壁开始，以相对速度
???vAB1?0.52m?s－1?0.71m?s－1 (7)? vAB1向右运动，所受摩擦力反向向左，为?Ff。对地面的加速度aA2为
第十九届全国中学生物理竞赛预赛题 第14页
aA2?Ff? ??2.25m?s－2 (8)mA此时B所受的摩擦力Ff方向向右，由其运动方程mBaB2?F?Ff得B对地面的加速度aB2为 aB2?F?Ff? ?5.5m?s－2 (9)mB?、(9)?二式知，碰后A对B的相对加速度为 由(8)? aAB2?aA2?aB2??7.75m?s－2 (10)?，相当于B走过的距离为s1，A相当于B作向右的匀减速运动。设A由碰后开始达到相对静止的时间为t1?式得 由(6)?? t1?vAB1a2?AB1t1?2s=0.091s (11)? aAB2aAB23111?2?m=0.03m (12)? aAB2t1231可见A停止在B当中，不与B的右壁相碰。 第二次碰撞
A在B内相对静止后，将相当于B向左滑动，所受的摩擦力改为向右，而B所受的摩擦力改为向左。
s1?这时A对B的相对加速度重新成为aAB1，即(4)?式。A由相对静止到与B的左壁第二次碰撞所需的时间t22可用s1?aAB1t2算出：
12 t2?2s1?aAB1aAB2??t1aAB1aAB1t1?0.51s (13)? aAB2自B开始运动至B的左壁与A发生第二次碰撞经历的时间
??t2?3.43s T2?t1?t1A达到B的左壁前相当于B的速度的大小为 vAB2?aAB1t2?aAB1aAB1t1?aAB2aAB1vAB1 (14)? aAB2这也就是第二次碰后A由B的左壁出发的相对速度大小。第二次碰后，A相对B向右运动，此时A相对
?和相当于B走过的距离s2于B的相对加速度又成为aAB2，即(10)?式。A由碰撞到相对静止所需要的时间t2分别为
?? t2 s2?以后的碰撞
vAB2aa?AB1t2?AB1aAB2aAB2aAB2aAB1t1?aAB2aAB1??0.016s (15)? t1aAB21?2?0.001m aAB2t22第十九届全国中学生物理竞赛预赛题 第15页
根据(13)?、(15)?二式，如令
k?则有
aAB11/41???0.18 (16)? aAB231/431??kt1? t2?kt1 t2由此可以推知，在第三次碰撞中必有
??kt2??k2t1? (17)? t3?kt2?k2t1 t3在第n次碰撞中有
??kn－1t1? （ tn?kn－1t1 tn18)?
即每一次所需时间要比上次少得多（A在B中所走的距离也小得多）。把所有的时间加在一起，得
?22?1?)?k???22?T???(ti?ti?)?(t1?t1s=3.56s (19)? ???31?1?ki?1i?0???这就是说，在B开始运动后3.56 s时，A将紧贴B的左壁，并与B具有相同速度，二者不再发生碰撞，一
直处于相对静止状态。现取A和B都静止时作为初态，以T?4.0s时刻的运动状态为末态，设此时A和B的速度为V，由动量定理，有 FT?(mA?mB)V 代入数值，得 V?FT?9.6m?s－1 (20)?
mA?mB答：自车厢开始运动到4.0 s时车厢与物块的速度相同，均为9.6m?s－1 评分标准：本题25分。
得出摩擦力Ff得5分，得出第一次碰撞时间t1得5分，得出第二次碰撞时间t2得5分。得出无穷次碰撞时间T?得5分 ，得到最后结果V再得5分。
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第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷与答案
