23．如图1，抛物线y＝ax2 x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E
（1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）求线段DE的长；
（3）在BC下方的抛物线上有一点P，P点的横坐标是m，△PBC的面积为S，求出S与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，最大值为多少？
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2 x+c，得： ，解得： ，
∴该抛物线所对应的函数关系式为y x2 x﹣3． （2）连接BE，如图1所示． ∵线段BC为⊙M的直径， ∴∠BEC＝90°．
又∵CE∥AB，∠BOC＝∠OCE＝90°， ∴四边形OCEB为矩形， ∴CE＝OB＝4．
∵抛物线y x2 x﹣3与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 又∵点C在y轴上， ∴CD＝1×2＝2， ∴DE＝CE﹣CD＝2．
（3）过点P作PH⊥x轴于点H，如图2所示． ∵P点的横坐标是m，点在BC下方的抛物线上，
∴点P的坐标为（m，m2 m﹣3）（0＜m＜4），点H的坐标为（m，0），
∴OH＝m，BH＝4﹣m，PH m2 m+3． ∵抛物线y x2 x﹣3与y轴相交于点C， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∴OC＝3，
∴S＝S梯形OCPH+S△BPH﹣S△BOC，
（OC+PH）?OH BH?PH OB?OC，
（3 m2 m+3）×m （4﹣m）×（ m2 m+3） 4×3， m2+3m （m﹣2）2+3， ∵ ＜0，
∴当m＝2时，S有最大值，最大值为3．
综上所述：S与m之间的函数关系式为S m2+3m（0＜m＜4），当m＝2时，S有最大值，最大值为3．
24．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
【解答】解：（1）当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6， 当x＝0时，得y＝﹣6， ∴点C（0，﹣6），
当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣2x2+8x﹣6， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴点B（4，﹣6）， ∴BC＝4，OC＝6，
∴OB═ 2 ；
（2）在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a， ∴C（0，3a），B（4，3a），
∵点A是抛物线的顶点， ∴A（2，﹣a），
过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F， 将BD与x轴的交点记为点G， 则E为OG的中点， ∵AE∥BD， ∴DG＝2AE＝﹣2a， ∴BD＝DG+BG＝﹣5a，
当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：
①当OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4， ∴a＝﹣1，
②当OD＝BD＝﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16， ∴a （由于a＜0，所以已负数舍去）； ③当OD＝OB时，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a， ∴此种情况不可能； ∴a＝﹣1或
（由于a＜0，所以舍去）； （3）∵BD＝DG+BG＝﹣5a， ∵点M是△OBD的外心，
∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴， ∴n a，
∵M（m，n），D（4，﹣2a），
∴（ a）2+m2＝（ a）2+（4﹣m）2， ∴8m＝6a2+16， ∵n a， ∴8m＝24n2+16，
整理上式，得：m＝3n2+2．
2024-2024学年浙江省衢州市q21教学联盟九年级（上）期中数学试卷（解析版）
