统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析

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第三节 函数的奇偶性与周期性

【知识重温】

一、必记3个知识点 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果函数f(x)的定义域内①______x偶函数 都有②______________________，那么函数f(x)是偶函数 如果函数f(x)的定义域内④______x奇函数 都有⑤______________________，那么函数f(x)是奇函数 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内

(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________，两个奇函数的积函数是⑩________. (ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是?________. (ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是?________. (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝?________. 3．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何

关于⑥______对称 关于③______对称 图象特点 高考

值时，都有f(x＋T)＝?________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中?__________________的正数，那么这个?________就叫做f(x)的最小正周期．

(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝－1

，则T＝2a.

1

，则T＝2a；若f(x＋a)＝

f?x?

f?x?

二、必明2个易误点

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 【小题热身】

一、判断正误

1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( ) (2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( ) (5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )

(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( ) 二、教材改编

2．下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

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C．y＝|ln x| D．y＝2－x

3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．

三、易错易混 4．关于函数f(x)＝的是( )

A．两函数均为偶函数

B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数

D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数

x2－4＋4－x2与h(x)＝x－4＋4－x的奇偶性，下列说法正确

5．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(2)＝0，则A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或02} D．{x|－2

f?x?x<0的解集为( )

6．[2024·全国卷Ⅱ]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.

考点一函数的奇偶性[分层深化型]

考向一：判断函数的奇偶性

1．[2024·某某市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.