选C.
答案 (1)B (2)C
热点二 函数的零点与方程 角度1 确定函数零点个数或其范围
1
【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－x的零点所在的区间为( ) 1??0，?A. 2???C.(1，2)
?1?
B.?2，1? ??D.(2，3)
(2)(2024·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 C.4
B.3 D.5
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数. 11?1?
f?2?＝log22－1＝－1－2＝－3＜0， ??
21
f(1)＝log21－1＝0－1＜0， 111
f(2)＝log22－2＝1－2＝2＞0，
112
f(3)＝log23－3＞1－3＝3＞0，即f(1)·f(2)＜0， 1
∴函数f(x)＝log2x－x的零点在区间(1，2)内. (2)令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0， 即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π. 故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个. 答案 (1)C (2)B
探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个
交点的确定.
2.判断函数零点个数的主要方法：
(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
?x2＋2，x∈[0，1），
【训练2】 定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝?且f(x＋
?2－x2，x∈[－1，0），1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( ) A.3个 C.1个
B.2个 D.0个
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象， 图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)， g(5)＝3－log25<1＝f(5)， 可得有两个交点，所以选B.
答案 B
角度2 根据函数的零点求参数的值或范围
【例2－2】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( ) 1A.－2 1C.2
1B.3 D.1
?2x，0≤x≤1，?1
(2)(2024·天津卷)已知函数f(x)＝?1若关于x的方程f(x)＝－4x＋
，x>1.??xa(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为( ) ?59?A.?4，4? ???59?C.?4，4?∪{1} ??
?59?B.?4，4? ???59?D.?4，4?∪{1} ??
解析 (1)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1
∴2a－1＝0，解得a＝2.
1
(2)如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－4x＋a的图象.
1
①当0≤x≤1时，直线y＝－4x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况. 19
当直线y＝－4x＋a过点B(1，2)时，则a＝4. 9
所以0≤a≤4.
11
②当x>1时，直线y＝－4x＋a与y＝x的图象只有一个交点的情况： 1?11?
ⅰ相切时，由y′＝－x2＝－4，得x＝2，此时切点为?2，2?，则a＝1.
??
11
ⅱ相交时，由图象可知直线y＝－4x＋a从过点A向右上方移动时与y＝x的图象155
只有一个交点.过点A(1，1)时，1＝－4＋a，解得a＝4.所以a≥4. ?59?结合图象可得，所求实数a的取值范围为?4，4?∪{1}.
??故选D.
答案 (1)C (2)D
探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件.
2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
【训练3】 (1)(2024·衡水质检)若函数f(x)＝|logax|－3－x(a>0，a≠1)的两个零点是m，n，则( ) A.mn＝1 C.0 B.mn>1 D.无法判断 ?（x－2）×|2x－1|，x<2， ? (2)(2024·河南八市联考)已知函数f(x)＝?若函数g(x)＝3 3－，x>2，??x－1f(x)－mx＋2m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为( ) A.(－1，0) C.(－1，1) 1 解析 (1)令f(x)＝0，得|logax|＝3x， 1 则y＝|logax|与y＝3x的图象有2个交点， 不妨设a>1，m B.(0，1) D.(1，3) 11 ∴3m>3n，即－logam>logan， ∴loga(mn)<0，则0 (2)函数g(x)＝f(x)－mx＋2m的零点即方程f(x)＝m(x－2)的根，∴m＝ f（x） ＝x－2 ?|2x－1|，x<2，?|2x－1|，x<2，???3根据题意可知直线y＝m与函数y＝?3的图象有三个 ，x>2，，x>2???x－1?x－1不同的交点.在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图，由图可知当0 答案 (1)C (2)B 热点三 函数的实际应用 【例3】 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为： 12（x??75－130x＋4 900），x∈[50，80）， y＝? x ??12－60，x∈[80，120]. (1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解 (1)当x∈[50，80)时， 11 y＝75(x2－130x＋4 900)＝75[(x－65)2＋675]， 1 当x＝65时，y有最小值为75×675＝9. 当x∈[80，120]时，函数单调递减，故当x＝120时，y有最小值10. 因为9<10，故当x＝65时每小时耗油量最低. 120 (2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·x. ①当x∈[50，80)时， 1208?4 900?l＝y·x＝5?x＋x－130? ??8? ≥5?2? 4 900? x×x－130?＝16， ? 4 900 当且仅当x＝x，即x＝70时，l取得最小值16. 1201 440 ②当x∈[80，120]时，l＝y·x＝x－2为减函数. 当x＝120时，l取得最小值10.
第2讲 基本初等函数、函数与方程 doc
