百度文库 - 让每个人平等地提升自我
题组层级快练(五十六)
→→
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于( ) 1
A. 2C.2 3
B.D.210 1511 15
答案 B
解析 分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1， 1→→
∴DB1＝(1，1，1)，CM＝(1，－，0)．
211－215→→
∴cos〈DB1，CM〉＝＝.
5153·2210→→
∴sin〈DB1，CM〉＝.
15
2．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( ) A.10 10
1B. 53D. 5
310C.
10答案 C
解析 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)． →→
∴BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)． 1＋2310→→
∴cos〈BE，CD1〉＝＝.
102·5
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A．120° C．30° 答案 C
B．60° D．150°
1
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1
解析 设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝，又0°≤θ≤90°.∴θ＝30°.
24．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为( ) A.C.3 210 5
5B. 2D.10 10
答案 C
解析 由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO.∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，∴C1O⊥B1D1.易得C1O⊥平面DBB1D1，∴∠C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．
在Rt△OBC1中，OC1＝22，BC1＝25，∴直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为故选C.
5.(2024·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( ) 1A. 3C.6 3
B.3 3
10，5
22D.
3
答案 A
解析 如图所示，建立空间直角坐标系．
→
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC→→
＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，4)，BB1＝(0，0，4)． →?AC＝0，?n·
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则?
→??n·AD1＝0，
??－2x＋2y＝0，
即?取x＝2，则y＝2，z＝1，故n＝(2，2，1)是平面ACD1的一个法向量． ?－2x＋4z＝0，?
→
|n·BB1|41→
设直线BB1与平面ACD1所成的角是θ，则sinθ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝＝.故
→9×43|n|·|BB1|
2
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选A.
6．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( ) 3A. 53C. 4答案 B
解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形． 设棱长为1，则有AD＝
535，B1D＝，DC＝， 222
4
B. 5D.5 5
13515
∴S△B1DC＝××＝.
2228设A到平面B1DC的距离为h，则有 VA－B1DC＝VB1－ADC， 11
∴×h×S△B1DC＝×B1D×S△ADC. 331151312∴×h×＝××，∴h＝. 383225
设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝
h4
＝. AD5
向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，
则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(3，0，2)． 设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，
→?CD＝0，??n·?－y＋2z＝0，
则有????n＝(0，2，1)．
→?3x－y＋2z＝0???n·CB1＝0→
AD·n4→
∴sin〈AD，n〉＝＝.
5→
|AD|·|n|
7．(2024·河南林州期末)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E
3
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1
为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为( )
3
335A.
35C.3 3
27B. 7D.2 4
答案 A
解析 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)， →→→
∴DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
→?D1E＝0，?（1，1，－1）＝0，?n·?（x，y，z）·则?即?
→（0，3，－1）＝0，??（x，y，z）·?n·D1C＝0，?
??x＋y－z＝0，??x＝2y，解得?即?取y＝1，得n＝(2，1，3)．
3y－z＝0，z＝3y，????
→
DC1·n（0，3，1）·（2，1，3）335→
∵cos〈DC1，n〉＝＝＝，
35→10×14|DC1|·|n|335
∴DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A.
35
8．(2024·昆明市高三调研)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面α所成的角为45°，则截面A1MN面积的最小值是( ) A．23 C．46 4
B．42 D．82
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答案 B
解析 如图，过点A作AE⊥MN，连接A1E，∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥MN，∴MN⊥平面A1AE，∴A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，∴∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，∴∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE
中，∵AA1＝2，∴AE＝2，A1E＝22，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2ME·EN＝4，当且仅当ME＝EN，即E为MN的中点时1
等号成立，∴截面A1MN面积的最小值为×4×22＝42，故选B.
2
9．(2024·保定模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的余弦值是( ) A.C.2
33 2
B.D.7 33 7
答案 B
解析 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，aaaa1→aa2→
∴E(，，1)，G(，，)，GE＝(，，)，BD＝(0，－a，1)，
22333663
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G， →→→
∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2. →112→
∴GE＝(，，)，BA1＝(2，－2，2)，
333
→→
∵GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量． 4
→→3GE·BA12→→
∵cos
3→→6|GE|·|BA1|×23
35
2024版高考数学理一轮总复习层级快练第八章立体几何作业56
