专题07 平面向量
1．【2024年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为
π 62πC．
3A．【答案】B
π 35πD．
6B．
【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b2=0，所以a?b?b2，所以
a?b|b|21π??，所以，故选B． ab与的夹角为cos?=
a?b2|b|223【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,?]．
2．【2024年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC= A．?3 C．2 【答案】C
B．?2 D．3
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22【解析】由BC?AC?AB?(1,t?3)，BC?1?(t?3)?1，得t?3，则uuuruuuruuurBC?(1,0)，ABgBC?(2,3)g(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 3．【2024年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是
uuuruuuruuuruuuruuur“|AB?AC|?|BC|”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【
解
析
】
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
uuurAB与
uuurAC的夹角为锐角，所以
uuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuur|AB|?|AC|?2AB?AC?|AB|?|AC|?2AB?AC，即
uuuruuur2uuuruuur2uuuruuuruuurruuuruuuruuu|AB?AC|?|AC?AB|，因为AC?AB?BC，所以|AB+AC|>|BC|；
当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|2>|AB-AC|2?AB?AC>0，又因为点A，B，C不共线，所以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是
ruuuruuuuuurruuuruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuu“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C．
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
4．b=0，若c?2a?5b，则【2024年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·
cosa,c?___________.
【答案】
2 3【解析】因为c?2a?5b，a?b?0， 所以a?c?2a2?5a?b?2，
|c|2?4|a|2?45a?b?5|b|2?9，所以|c|?3，
a?c22??所以cosa,c? ． a?c1?33【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 5．【2024
年高考天津卷理数】在四边形
ABCD中，
AB?23,AD?5,?A?30?，点E在线段CB的延长线上，且uuuruuurAE?BE，则BD?AE?_____________． AD∥BC,【答案】?1
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，AB?23,AD?5,则
B(23,0)，D(535,). 22因为AD∥BC，?BAD?30?，所以?ABE?30?， 因为AE?BE，所以?BAE?30?，
所以直线BE的斜率为33，其方程为y?(x?23)， 33直线AE的斜率为?33，其方程为y??x. 33?3(x?23),?y??3由?得x?3，y??1， ?y??3x?3?所以E(3,?1).
uuuruuur35所以BDgAE?(,)g(3,?1)??1.
22
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.
6．【2024年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB?AC?6AO?EC，则
uuuruuuruuuruuurAB的值是_____. AC
【答案】3.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．
uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur3uuu6AOgEC?3ADgAC?AE?AB?ACgAC?AE，
2??????ruuur3uuu?AB?AC2??r1uuur??uuug?AC?AB??3??ruuur1uuur2uuur21uuuruuur?3?uuu?ABgAC?AB?AC?ABgAC? 2?33?ruuur1uuur2uuur2?uuuruuur1uuur23uuur2uuuruuur3?2uuu??ABgAC?AB?AC??ABgAC?AB?AC?ABgAC， 2?3322?uuuruuurr23uuur21uuuAB?3 得AB?AC,即AB?3AC,故
22AC【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
7．【2024年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个?i(i?1,2,3,4,5,6)取遍??uuuruuuruuuruuuruuuruuur时，|?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD|的最小值是________；最大值是
_______.
【答案】0；25. 【解析】以AB, AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur则AB?(1,0),BC?(0,1),CD?(?1,0),DA?(0,?1),AC?(1,1),BD?(?1,1),
令uuuruuuruuuruuuruuuruuury??1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD?0. 又因为?i(i?1,2,3,4,5,6)可取遍?1， ??1??3??5??6????2??4??5??6?22?0所以当?1??3??4??5??6?1,?2??1时，有最小值ymin?0. 因为??1??3??5?和??2??4??5?的取值不相关，?6?1或?6??1， 所以当??1??3??5?和??2??4??5?分别取得最大值时，y有最大值， 所以当????????1,?????1时，有最大值
ymax?125634故答案为0；25. 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.
8．【山东省烟台市2024届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD中，
22?42?20?25. uuuruuuruuuuruuuurAB=4,AD?2．若点M，N分别是CD，BC的中点，则AM?MN?
A．4 C．2 【答案】C
【解析】由题意作出图形，如图所示：
B．3 D．1
由图及题意，可得：
uuuuruuuruuuuruuur1uuurAM?AD?DM?AD?AB，
2uuuuruuuruuuur1uuur1uuurr1uuurr1uuur1uuu1uuuMN?CN?CM?CB?CD??BC?DC??AD?AB.
222222
2024年高考真题+高考模拟题专项汇编：理数——专题07平面向量(解析版)
