讲座(三)：抽象函数常见题型解法综述(教师版)1.docx

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数.由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点2—?本文就 抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题

例1?已知函数/⑴的定义域是［-1, 2］,求函数/［log, (3-x)］的定义域.

2

解：/(尢)的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对彖都在［-1, 2］中，由此可得-l(丄尸 <3-x<(-)_, =>l

2

2 2 4

所以函数/llogl (3-x)J的定义域是［1,芈］

二 4

二、求值问题 例2?(1)已知定义域为/T的函数f(x),同时满足下列条件：

①/(2) = 1, /(6) = | ；② /Oy) = /(兀) + /(『)，求 f(3), f (9)的值.

解：取x = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3)

1

4

因为 /(2) = 1, /(6)=-,所以 /(3)=--

又取x = y = 3

Q

得 /(9) = f (3)+ /(3)=--

(2)定义在 R 上的函数/(兀)满足:f(x) = f(4-x) ja/(2-x) + /(x-2) = 0,求 /(2000)的值.

解：由/(2-x) + /(x-2) = 0, 以 t = x-2 代入，有/(-r) = /(r), .?./(%)为奇函数且有/(0) = 0 又由 /(X + 4) = /L4-(-X)J =/(-力 =-/(兀) ???/(兀+ 8)

= -/U + 4)

=fM

故/(x)是周期为8的周期函数，.?./(2000) = /(0) = 0

三、值域问题

例3? 设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数x、y, /(x+y) = /(x)/(y)总成 立，且存在兀严2,使得/(不)工/(吃)，求函数/(Q的值域.

解：令兀二 y = o,得/(0) = [/(0)]2,即有/(0) = 0或/(0) = 1。

若/(0) = 0,则/(兀)二/(尢+ 0) = /(兀)/(0) = 0,对任意xeR均成立，这与存在 实数兀］工兀2,使得/(兀1)工/(兀2)成立矛盾，故7*(0)工0,必有/(0)= 1 o

f(x)=/(|+|)=/(|)/(|)=[/(|)]2 > o

下面来证明，对任意xwR, /(x)

0

设存在xR,使得 f(x0) = 0,则/(0) = /Oo -兀o)= /(兀o)/(-兀0)= 0

这与上面已证的/(0)H0矛盾，因此 对任意x e /(%) 0

所以/(%) > 0

四、解析式问题

例4.设对满足无工0,无工1的所有实数x,函数/(兀)满足/(%) + /(□) = 1 +兀，求

X

f (x)的解析式?

X — 1

x —\\

2x —

/(——)+/(——)=

x x-l 1

x

再在(1)中以-一代换X,得

x-1 /(——)+/⑴=—-⑶

x-1 I

解：在/(x) + /(——)=1 +兀 x-\\ I X

(1)中以—代换其中X,得:

X

x-2

x-1

[

⑴―(2) + (3)化简得：=

2x(x-l)

五. 单调性问题

例5? 设f (x)定义于实数集上，当x>0时,

/(x) > 1,且对于任意实数x、y,有

f(x + y) = f(x) - f(y),求证:/(兀)在R上为增函数.