2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上. (1) (2) 设函数_____. (3) 设函数
可微，且
，则
在点
处的全微分
在
_________.
的某邻域内可导，且
，则
____
_________.
(4) 设矩阵 _______. (5) 设随机变量
与
相互独立，且均服从区间_________.
(6) 设总体
的概率密度为
，则
=_________.
为总体
的简单
上的均匀分布，则
，
为阶单位矩阵，矩阵
满足
，则
__
随机样本，其样本方差
二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数增量，(A) (B) (C) (D)
与
具有二阶导数，且分别为
在点
，
为自变量在，则：
处的
处对应的增量与微分，若
(8) 设函数(A) (B) (C) (D) (9) 若级数
在处连续，且存在 存在 存在 存在
，则：
收敛，则级数：
(A) 收敛
(B) 收敛
(C) 收敛
(D)
收敛
有两个的解
为任意常
(10) 设非齐次线性微分方程数，则该方程的通解是： (A) (B) (C) (D) (11) 设条件
均为可微函数，且
已知是在约束
下的一个极值点，下列选项正确的是：
(A) 若(B) 若(C) 若(D) 若 (12) 设(A) 若(B) 若(C) 若(D) 若(13) 设
均为维列向量，线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
为阶矩阵，将
是
矩阵，下列选项正确的是： 线性相关 线性无关 线性相关 线性无关 ，再将
的第列的
倍加到第
的第行加到第行得
列得，记
，则：
(A) (B) (C) (D)
.
服从正态分布
，随机变量服从正态分布
，则必有：
，
(14) 设随机变量且(A) (B)
(C) (D)
三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分7分)
设，求
(I) (II)
.
；
(16) (本题满分7分) 计算二重积分(17) (本题满分10分) 证明：当
(18) (本题满分8分) 在
坐标平面上，连续曲线过点
的斜率之差等于
，其上任意点.
处的切线
时，
.
，其中
是由直线
所围成的平面区域.
斜率与直线
(I) 求的方程； (II) 当与直线
所围成平面图形的面积为时，确定的值.
(19) (本题满分10分) 求幂级数
(20) (本题满分13分) 设维向量组
，
，
，
的收敛域及和函数
.
，问为何值时线性相关?当线性相关
时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. (21) (本题满分13分) 设阶实对称矩阵性方程组(I) 求
的各行元素之和均为，向量
是线
的两个解.
的特征值与特征向量；
和对角矩阵
，其中
，使得
为阶单位矩阵.
；
(II) 求正交矩阵(III) 求
及
(22) (本题满分13分)
设随机变量的概率密度为令，为二维随机
变量的分布函数.求：
；
(I) 的概率密度(II) (III)
； .
(23) (本题满分13分)
设总体的概率密度为为来自总体
的简单随机样本.记
其中是未知参数（为样本值
），
中小于的个数，
求：
(I) 的矩估计；
2006考研数学三真题
