解三角函数题时常用的数学思想方法
厦门一中 廖献武
三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度。在教学中应加以归纳与训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。本文通过实例介绍解三角函数题时常用的数学思想方法。 一、函数与方程的思想
方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.
sin??cos?例1 已知sin??3cos??2求sin??cos?的值.
sin??cos??x解:令sin??cos?,则(x?1)sin??(x?1)cos??0 ①
又sin??3cos??2 ②
sin??x?1x?1,cos??2?xx?2
由①、②解得
?(x?12x?12)?()?122?xx?2 即x?4x?2?0
sin??cos????2?6x??2?6解得 sin??cos?.
函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.
例2 已知x，y ∈[?,]，且x3+sinx－2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos（x+2y）的值.
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解：设f（u）=u3+sinu。由①式得f（x）=2a，由②式得 f（2y）=－2a. 因为f（u）在区间[?，]上是单调奇函数，所以f（x）=－f（2y）=f（－2y）. 又所因x,－2y∈[?，]，所以x=－2y，即x+2y=0。所以cos（x+2y）=1. 方程与函数是互相联系的，利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
例3 试求方程80sinx?x的实根的个数以及所有实根的和． 解：解决这类问题宜从函数的角度来考虑．
xx由80sinx?x得sinx?．∴?1??1，即?26??x?26?．
8080x设f(x)?sinx，g(x)?(?26??x?26?)，方程80sinx?x的实根，即是以上
80x两个函数图象交点的横坐标．由于f(x)?sinx，g(x)?均为奇函数，其图象
80关于原点对称，因此只须画出[0,26?)内的图象．
??22??22yf?x? = sin?x?g?x? = x80??图2????????????x???由于f(x)?sinx和g(x)?x的单调性，可知在f(x)?sinx的任意两个相邻80的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而f(x)?sinx的对称轴方程为x?k??当0?x?26?时，两个函数图象共有25个交点，(k?Z)，
2又由于两个图象均过原点，所以当?26??x?26?时，两个图象共有2?25?1?51个交点，即方程80sinx?x共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0． 二、数形结合的思想
数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）．
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?a,(a?b)例4 若a,b?R,记max(a,b)??，对于函数f(x)?max(sinx,cosx)
b,(a?b)?(x?R)，给出下列4个命题：
①该函数的值域是[?1,1]；②当且仅当x?2k???2值1；③该函数是以?为最小正周期的周期函数；④当且仅当
3?2k????x?2k??(k?Z)时，f(x)?0．上述命题中正确的的命题
2是 ．
(k?Z)时，该函数取得最大
?sinx,(sinx?cosx)解：根据题意，已知函数即为f(x)??，由此图象可知，该
?cosx,(sinx?cosx)函数值域是[?2?,1]；当x?2k?或x?2k??(k?Z)时，该函数取得最大值1；22该函数是以2?为最小正周期的周期函数，所以命题①、②、③都不正确，而
命题④是正确的．
yf?x? = sin?x?5?3?13???4?g?x? = cos?x?42??9?4图14??x
三、分类讨论的思想
分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏．
2例5 求函数f(x)?cosx?2asinx?1(0?x?2?,a?R)的最大值和最小值.
22f(x)?cosx?2asinx?1??sinx?2asinx,设sinx?t,?1?t?1 解:
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解三角函数题时常用的数学思想方法.
