第二章 2.4 抛物线
y 2 ? 2 px ( p ? 0)
l
y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y
x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y
x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y O
抛 物 线
y
l
l
x
O F x F O x
F
O x
F
l
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}
范围
x ? 0, y ? R x ? 0, y ? R x ? R, y ? 0 x ? R, y ? 0
关于 x 轴对称
( ,0) 2
关于 y 轴对称
2 2 2
焦点在对称轴上
对称性
p焦点
p p ( ? ,0) (0, )
(0, ? )
p顶点
O(0,0)
离心率
准线 方程
x ?? pe =1
x?
p p
y??y?
p
2
2 2 2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离
p
2
p
焦半径
A( x , y )
1
1
AF?x?p
2
1
AF??x?p
1
2 AF?y?
1
p
2 AF??y?
p
1 2
焦 点弦
长
AB
( x ? x ) ? p
1 2
?( x ? x ) ? p
1
2
( y ? y ) ? p
1
2
?( y ? y ) ? p
1
2
y
A ?x , y ?
1
1
o
焦点弦
F
2 2
B ?x , y ?
AB 的几
条性质
x
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切
2 p
若 AB 的倾斜角为 ? ，则 AB ? 2 p 若 AB 的倾斜角为 ? ，则 AB ?
sin 2 ? cos2 ?
A( x , y )
1
1
B( x , y )
2
2
x x ?
1
1 2
p 2
4
y y ? ? p 2
1 2
AF ? BF AB 2
? ? ? ? AF BF AF ? BF AF ? BF p
1
切线 方程
y y ? p( x ? x ) y y ? ? p(x ? x )
0 0 0 0
x x ? p( y ? y ) x x ? ? p( y ? y )
0 0 0 0
1. 直线与抛物线的位置关系
直线
，抛物线 ，
，消 y 得：
（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当 k≠0 时，
Δ ＞0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ =0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； Δ ＜0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y ? kx ? b
① 联立方程法：
抛物线
， ( p ? 0)
? y ? kx ? b
? k 2 x 2 ? 2(kb ? p) x ? b2 ? 0 ?
? y 2 ? 2 px
设交点坐标为 A( x , y ) , B( x , y ) ，则有? ? 0 ,以及 x ? x , x x ，还可进一步求出
1
1
2
2
1
2
1 2
y1 ? y ? kx ? b ? kx ? b ?
2
1
2
k ( x 1
? x 2
) ? 2b
y y 2
? (kx 1
? b)(kx 2
? b) ? k 2 x 1x 2
? kb( x 1
? x 2)
? b21
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦 AB 的弦长
AB ? 1 ? k 2
x ? x ? 1 ? k 2
( x ? x ) 2
? 4 x x ? 1 ? k 2
?
1 2
1
2
1 2
a
或 AB ? 1 ?
1
1
k 2
y1
? y 2
? 1 ?
k 2 ( y1 ? y 2
)2 ? 4 y y ? 1 ? ?
1 2 k 2
a
b. 中点 M ( x x ? x1
0
, y 0
) , x 0
? 1
22y2
，? y y
?
0
2
② 点差法：
设交点坐标为 A( x , y 1)
， B( x 2,
y 2)
，代入抛物线方程，得
1y
2 ? 221 px1
y 2 2
? 2 px
将两式相减，可得
( y1
? y 2
)( y 1
? y 2
) ? 2 p( x 1
? x 2)
y ? y
1 x
? x2
?
2 p
1 2
y ? y
1
2 AB ?2 p
y1
? y2
a. 在涉及斜率问题时， k
b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 ? ? ，
y
1 2
?? ?
yx 1
x2
( x 0, y 0)
，
M ，
抛物线知识点归纳总结.
