全国高中数学联赛模拟试题（七）
第一试
一、选择题：（每小题6分,共36分）
1、a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的直线
c有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条
2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)?g(x)=x2+2x+3,则
f(x)+g(x)=
（A）?x2+2x?3 （B）x2+2x?3 （C）?x2?2x+3 （D）x2?2x+3
2?3、已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使
3AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)
成立的m的最大值是
（A）2
5（B）
3 （C）3 （D）
3 24、设x=0.820.5,y=sin1,z=log37则x、y、z的大小关系是
（A）x＜y＜z
（B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x
?101995?5、整数?95?的末尾两位数字是
?10?3?（A）10 （B）01 （C）00 （D）20
6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为
（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2
二、填空题：（每小题9分,共54分）
1、若f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则f(2?1)= ． 2、设F1、F2是双曲线x2?y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是 ． 3、给定数列{xn},x1=1,且xn?1?3xn?13?xn,则x1999?x601= ．
4、 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则四面体
AD1EF的体积是 ．
??y??x?15、在坐标平面上,由条件?所限定的平面区域的面积是 ．
??y??2x?36、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌
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子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要 周．
三、（20分）
x2y2已知椭圆2?2?1过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x
ab的交点为B、C．现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物线
2的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足?e2?1,求实数m的取值
3范围．
四、（20分）
a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a． 证明：
a?b?2c?b?c?2a?c?a?2b3≤＜2．
a?b?b?c?c?a2五、（20分）
已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 （i）a、b、c、d均大于0；
（ii）对于任一个x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数； （iii）f(1)=1,f(5)=70．
试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数．
第二试
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一、（50分）
设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC
与C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB．
二、（50分）
55 求证：f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．
设w?cos??isin?,f(x)=(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9)．
三、（50分）
在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过
120°的弧的条数的最小值．
参考答案
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