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天体运动中的追及相遇问题

信阳高中 陈庆威 2013.09.17

在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如，A、B 两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻 A、B 相距最近，问 A、B 下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。

而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。

一、追及问题

【例1】如图1所示，有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为 T1，B 行星的周期为 T2，在某一时刻两行星相距最近，则

①经过多长时间，两行星再次相距最近？

②经过多长时间，两行星第一次相距最远？

解 析 ： A、 B 两 颗 行 星 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 由 万 有 引 力 提 供 向 心 力

，因此 T1

有达到一周，但是要它们的相距最近，只有 A、B 行星和恒星 M 的连线再次在一条直线上，且 A、B 在同侧，从角度上看，在相同时间内，A 比 B 多转了2π；如果 A、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A 比 B 多转了 π。

所以再次相距最近的时间 t1，由

；第一次相距最

远的时间 t2，由 。如果在问题中把“再次”或“第

一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。

【例 2】如图 2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为 R，运转周期为 T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ， 当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时 刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？

解析：由题意可得行星的轨道半径r ? R sin

设行星绕太阳的运行周期为 T/，由开普勒大三定律有：

3 R r 3

? 2，得： T ? ? T sin 3 2

T T ?

太阳

行星

视角 地球 图 2

绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球

32?2 ?2(1? sin ) ???? ?

T ??T T sin 3 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是刚看到；二是马上看不到,如图 3 所示。到下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为

? 2 (? 2) sin 3

两者都顺时针运转： t1 ??? ? T

3? 2(1? sin ) 太阳

行星

θθ 地球

图 3

两者都逆时针运转： t2 ??

? 2 (? 2) sin 3 ? ? T ? 2(1? sin 3) 二、相遇问题

【例3】设地球质量为 M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为 m 的飞船由静止开始从 P 点沿 PD 方向做加速度为 a 的匀加速直线运动，1年后在 D 点飞船掠过地球上空，再过3个月又在 Q 处掠过地球上空，如图4所示（图中“S”表示太阳）。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

解析：飞船开始与地球相当于在 D 点相遇，经过3个月后，它们又在 Q 点相遇，

因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度

。设地球的

公转周期为 T， 飞船由静止开始做加速度为 a 的匀加速直线运动， 则

地球的公转半径为

所以，地球与太阳之间的万有引力大小为

【例 4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做同向圆周运动，火星轨道半径 r 火为地球轨道半径 r 地的 1．50 倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：

第一步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星(如图 5)；

第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上(如图 6)。

当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年 3 月 1 日零时测得探测器与火星之间的角距离为 60°（火星在前，探测器在后），如图 7 所示。问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表 面？（时间计算仅需精确到日），已知：

；

。