椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭 圆
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点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
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x2y2x0xy0y(x,y)P??1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是?2?1. 0000222ababx2y2x0xy0y(x,y)??1若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是?2?1. 1212000a2b2a2bx2y2?2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?btan.
12ab2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
9.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11.
x2y2b2AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2abab2x0即KAB??2。
ay0，
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x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是
aba2babx2y2x2y2x0xy0y?2. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?ababa2b双曲线
1. 2. 3. 4. 5.
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
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13.
PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
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7.
x2y2x0xy0y(x,y)P??1若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是?2?1. 0000a2b2a2bx2y2x0xy0y(x,y)??1若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是?2?1. 1212000222ababx2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为
abS?F1PF2?b2cot8.
?2.
x2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，
则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11.
b2x0x2y2AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?aba2y0x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
aba2babx2y2x2y2x0xy0y?2. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
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，即KABb2x0?2ay0。
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x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
abx2y2?2?1. 2abx2y2b2x0过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常
abay0、
数）. 3.
x2y2a?c???tancot若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
aba?c22设椭圆
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4.
x2y2??1（a＞b＞0）的两个焦点为a2b2F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
?F1PF2??,
(完整版)高考数学圆锥曲线的经典性质50条
