五大技巧，简化解析几何运算
解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质
例1 (1)已知点F为抛物线y＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且AF＝4，则PA＋PO的最小值是__________． 答案 213
解析 如图，可求A(－2，4)，再求A(－2，4)关于抛物线的准线x＝2的对称点A′(6，4)，因此PA＋PO＝PA′＋PO，当O，P，A′三点共线时PA＋PO取到最小值．即(PA＋PO)min＝A′O＝6＋4＝213.
2
2
2
(2)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、
4四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
x2
2
答案
6 2
解析 由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)， 设双曲线C2的实半轴长为a， 由椭圆及双曲线的定义和已知，
1
AF1＋AF2＝4，??
可得?AF2－AF1＝2a，
2??AF21＋AF2＝12，
解得a＝2，
2
故a＝2.所以双曲线C2的离心率e＝跟踪演练1 (1)已知椭圆
32
＝
6
. 2
＋＝1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则PA＋2516
x2y2
PB的最大值为______．
答案 15
解析 由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，
设椭圆的左焦点为B′，由椭圆的定义可知PB＝2a－PB′＝10－PB′， 则PA＋PB＝10＋(PA－PB′)， 很明显，(PA－PB′)max＝AB′ ＝
(－3－1)2＋(0－3)2＝5，
PFPA据此可得PA＋PB的最大值为10＋5＝15.
(2)抛物线y＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为______． 答案
2 2
2
解析 设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义， 知PF＝xP＋m，又PA＝(xP＋m)＋yP ＝(xP＋m)＋4mxP，则??
PA?xp＋m?111＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)， 2
?xp＋m?＋4mxP4mxP4mxP2
1＋1＋22
?xP＋m??2xP·m?所以≥22
2
2
2
?PF?2??
PFPA2PF2，所以的最小值为. 2PA2
技巧二 设而不求，整体代换
例2 (1)已知直线l交椭圆4x＋5y＝80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是___________________________． 答案 6x－5y－28＝0
解析 由4x＋5y＝80得＋＝1，
2016
2
2
2
2
x2y2
2
∴椭圆上顶点为B(0,4)，右焦点F(2,0)为△BMN的重心，故线段MN的中点为C(3，－2)． 直线l的斜率存在，设为k， ∵点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
??4x1＋5y1＝80，∴?22
?4x2＋5y2＝80，?
2
2
∴4(x1－x2)(x1＋x2)＋5(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴k＝y1－y24x1＋x2466
＝－·＝－·＝. x1－x25y1＋y25－45
6
∴直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
5
(2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且
434直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．
x2y2x?33?答案 ?，?
?84?
解析 由题意，得A1，A2两点关于原点对称， 设A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)， 则＋＝1，＋＝1， 4343332222
即y1＝(4－x1)，y0＝(4－x0)，
44两式相减整理，得
x2y211x2y200
y0＋y13x0－x131＝－×＝－×. x0＋x14y0－y14kPA1
因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤
y0＋y1
≤－1， x0＋x1
1333
所以－2≤－·≤－1，解得≤kPA1≤
4k84
PA1x2y22
跟踪演练2 (2024·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: 2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，过其
ab2
左焦点F(－c,0)的直线交椭圆M于A，B两点，若弦AB的中点为D(－4,2)，则椭圆M的方程
3
是________． 答案
＋＝1 7236
x2y2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由中点坐标公式得x1＋x2＝－8，y1＋y2＝4.
??
将A，B的坐标分别代入M的方程中得?xy??a＋b＝1，
2
22
222
x2y211
2＋2＝1，ab
2
y1－y22b2
两式相减，化简得＝，
x1－x2a2
2－0y1－y22b22
又因为A，B，D，F四点共线，所以＝＝2，所以a＝b(c－4)．
c－4x1－x2a??c1由?＝，
a2??b＋c＝a，
222
2
2
a2＝b2?c－4?，
x2
a＝72，??2
解得?b＝36，
??c＝6，y2
2
所以椭圆M的方程为＋＝1.
7236
技巧三 根与系数的关系，化繁为简
x2y2
例3 已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个顶点与F1，F2
ab构成面积为2的正方形．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)直线l与椭圆Γ在y轴的右侧交于点P，Q，以PQ为直径的圆经过点F2，PQ的垂直平分→6→
线交x轴于A点，且OA＝OF2，求直线l的方程．
11
解 (1)因为椭圆C的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b＝c， 因为S＝a＝2，所以a＝2，b＝c＝1，
4
2
故椭圆Γ的方程为＋y＝1.
2
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的斜率存在， 设直线l：y＝kx＋m，显然k≠0，
x2
2
x??＋y2＝1，由?2??y＝kx＋m，
2
得(1＋2k)x＋4kmx＋2(m－1)＝0，
222
－4km±8?2k－m＋1?因为x1,2＝ 2
2?1＋2k?－4km2?m－1?
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2，
1＋2k1＋2k2
22
Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，(*)
m2－2k2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝2，
1＋2k2
2
y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m ＝k(x1＋x2)＋2m＝2m2， 1＋2k→→
由PF2·QF2＝0，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
1－3m即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0，得3m－1＋4km＝0，即k＝，
4m2
2
PQ的中点为点C?
?－22km，2m?，
??2k＋12k＋1?
2
2k＋1
所以线段PQ的中垂线AB的方程为y－2km?1?＝－?x＋2?，
k?2k＋1?令y＝0，可得A?
mkm?－，0?2?， ?2k＋1?
－km6→6→
由OA＝OF2，得2＝，
112k＋111
1－3m3m－m3将k＝代入上式，得4＝， 2
4m9m＋2m＋111即6m－17m－3＝0，解得m＝3，
2323
所以m＝3，k＝－或m＝－3，k＝，
33经检验满足(*)式，所以直线PQ的方程为 2x＋3y－3＝0或2x－3y－3＝0.
跟踪演练3 (2024·连云港期末)过抛物线y＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A, B两点，
2
4
2
2
2
4
2
5
2024高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 五大技巧简化几何的综合问题学案
