集中荷载下碳纳米管的弯曲及其分子动力学模拟*
梁颖晶 韩强?
【摘 要】摘 要:利用圆柱壳半无矩理论研究了悬臂碳纳米管在集中荷载作用下的弯曲问题，得到了该问题的内力解和位移解，并通过分子动力学模拟验证了理论解的适用性.研究结果表明，当锯齿型碳纳米管长径比为5.2～12.0、扶手椅型碳纳米管长径比为5.5～18.0时，理论解与分子动力学模拟结果较为吻合. 【期刊名称】华南理工大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2012(040)007 【总页数】4
【关键词】关键词:碳纳米管;弯曲;半无矩理论;分子动力学
自1991年被 Ijima［1］发现以来，碳纳米管以其优异、独特的机械、力学、电学、化学和光学性能引起了人们的广泛关注，它的结构完美，尺度小，密度低、强度和硬度高，因此可望在纳米复合材料、传感器和纳米电子等领域获得广泛应用［2-3］.碳纳米管力学性能的研究是其应用的重要理论基础，集中力作用下悬臂纳米梁的弯曲问题是纳米力学的基本问题，由于常规实验手段难以对这么小的碳纳米管进行直接测量，且分子动力学模拟难以模拟较大规模或较长时间跨度的问题，使得连续介质力学在该问题的研究上得到充分发展.Govindjee等［4］用 Benoulli-Euler梁理论对悬臂碳纳米管的弯曲问题进行了研究，接着Wang等［5］分别用 Benoulli-Euler梁和 Timoshenko梁模型对悬臂碳纳米管承受切向力的情况进行研究，随后Ansari等［6］用Reddy梁模型和Levisnson梁模型分别研究了纳米管的弯曲问题.在碳纳米管中应用的连续介质力学静力弯曲一般集中在采用Benoulli-Euler 梁［4］、Timoshenko
梁［5，7］模型或者考虑高阶剪切变形的梁模型［6，8-9］研究不同边界条件下纳米梁的受弯问题，采用壳体理论研究悬臂纳米梁弯曲问题及其研究的文献较少.
有鉴于此，文中利用圆柱壳半无矩理论研究了悬臂碳纳米管集中力作用下的弯曲问题，得到了碳纳米管弯曲的内力解和位移解，并通过分子动力学模拟验证该模型.
1 碳纳米管弯曲问题的半无矩弹性壳理论
图1是一半径为R，长为l，厚度为h的悬臂碳纳米管，左端固支，右端受一集中力F作用，x和θ分别是其纵向坐标和周向坐标，z为其径向坐标. 采用半无矩理论［10-11］，假定碳纳米管中只有5个内力 Nx、Nxθ、Nθ、Qθ、Mθ，其余内力分量为 0.应变分量εxθ=εθ=0.可得无体力作用下的平衡方程
物理方程为
式中:u、v、w 分别为轴向、环向和竖向的位移;εx，εθ和εxθ分别为x方向、θ方向的正应变与剪应变;θ为θ方向的曲率变化量. 碳纳米管弯曲问题的本构方程为
式中:E、μ分别为碳纳米管的弹性模量、泊松比;D为弯曲刚度x为x方向的曲率变化量.
根据半无矩理论中应变分量 εxθ=εθ=0的假设，可得 式中:为轴向法应力.
方程组(4)即半无矩理论的圆柱壳的基本方程. 应力边界条件为
位移边界条件，即固支边界条件如下:
根据集中力作用下碳纳米管的受力及变形特点，考虑周期性条件和其对称于平面θ=/2，利用上述各式，可得悬臂碳纳米管在集中力作用下弯曲问题的内力分量和位移分量:
2 分子动力学模拟
下面采用分子动力学模拟计算集中荷载作用下悬臂碳纳米管的变形情况.文中采用AIREBO势函数进行计算，采用Velocity-Verlet算法.计算程序采用Nose-Hoover方法进行等温调节，以保证系统在变形过程中始终保持恒温.温度控制在0.01K，以避免热激活的复杂影响.
进行分子动力学模拟时，首先对原始构型进行无约束弛豫，使得系统能量降低，达到稳定的初始状态.弛豫后固定一端的四圈原子保持不动以模拟固支边界条件;对另外一端的原子逐步施加竖向力，每一步弛豫充分时间，以使系统达到平衡状态.读取悬臂端每个原子的位置信息，每个模型施加20个荷载增量步，其他原子边界条件为自由(无约束)边界，以保证整个过程保持准静态加载.对结果进行分析可以得到碳纳米管悬臂端上边缘在每一荷载步下的挠度值，将分子动力学模拟结果与理论解进行比较.
文中选取直径d为0.3～1.1nm的锯齿形和扶手椅型碳纳米管各5组进行分析，每组长度L分别为3、5、8、10nm，共计模型 40 个，如表1 所示.
取碳纳米管的弯曲刚度D=1.36×10-19J，面内弯曲刚度为360 J/m2，泊松比 μ=0.19，壁厚 h=0.066nm［12］，根据式(14)得到理论解，将分子动力学模拟结果与理论结果进行比较，得到图2和3.
图2、图3分别给出直径约为0.94nm的锯齿型和扶手椅型碳纳米管悬臂端上
集中荷载下碳纳米管的弯曲及其分子动力学模拟
