2024年福建省中考数学试卷
一、选择题(每小题4分,共40分) 1.(4分)计算22+(﹣1)0的结果是( ) A.5
B.4
C.3
D.2
2.(4分)北京故宫的占地面积约为720000m2,将720000用科学记数法表示为( ) A.72×104
B.7.2×105
C.7.2×106
D.0.72×106
3.(4分)下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等边三角形
B.直角三角形
C.平行四边形
D.正方形
4.(4分)如图是由一个长方体和一个球组成的几何体,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
5.(4分)已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为( ) A.12
B.10
C.8
D.6
6.(4分)如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( )
A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定 B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好 C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高 D.就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳 7.(4分)下列运算正确的是( ) A.a?a3=a3
B.(2a)3=6a3
C.a6÷a3=a2 D.(a2)3﹣(﹣a3)2=0
8.(4分)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是( ) A.x+2x+4x=34685 C.x+2x+2x=34685
B.x+2x+3x=34685 D.x+x+x=34685
9.(4分)如图,PA、PB是⊙O切线,A、B为切点,点C在⊙O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于( )
A.55°
B.70°
C.110°
D.125°
,
10.(4分)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3﹣m,n)、D(y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3
B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1
D.y2<y3<y1
二、填空题(每小题4分,共24分) 11.(4分)因式分解:x2﹣9= .
12.(4分)如图,数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2,点C是线段AB的中点,则点C所表示的数是 .
13.(4分)某校征集校运会会徽,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100名学生,其中60名同学喜欢甲图案,若该校共有2000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.
14.(4分)在平面直角坐标系xOy中,?OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0)、B(4,2),则其第四个顶点是 .
15.(4分)如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
16.(4分)如图,菱形ABCD顶点A在函数y=(x>0)的图象上,函数y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=2,∠BAD=30°,则k= .
三、解答题(共86分) 17.(8分)解方程组
.
18.(8分)如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点,且DF=BE.求证:AF=CE.
19.(8分)先化简,再求值:(x﹣1)÷(x﹣20.(8分)已知△ABC和点A',如图.
(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F'.
),其中x=
+1.
21.(8分)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A、B的对应点分别是D、E. (1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°时,点F是边AC中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
22.(10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m;
(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
23.(10分)某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务,每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数,每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元;如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元,但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,整理得下表; 维修次数 频率(台数)
8 10
9 20
10 30
11 30
12 10
(1)以这100台机器为样本,估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率; (2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务?
24.(12分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF. (1)求证:∠BAC=2∠CAD; (2)若AF=10,BC=4
,求tan∠BAD的值.
25.(14分)已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式;
(2)设A为抛物线上的一定点,直线l:y=kx+1﹣k与抛物线交于点B、C,直线BD垂直于直线y=﹣1,垂足为点D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明:对于每个给定的实数k,都有A、D、C三点共线.