线代与解几考试1

?x1?1?x22?x2?x2?与原方程组同解方程组为：?1?x4?x3?2?x?x4?4?1??1??0?2???1??0??0??1???,?2???，特解为：?0??1?，

?0??1??2??????0??0??1??? ，其导出组的解系为：

?1??x1??1??0?2?????1??0?通解为：?x2?，其中k1,k2为任意实数。 ?0???0?k1?1?k2?2??1??k1???k2???x3??0??1?2????????x????0???1??4??0?20 矩阵的特征值，相似矩阵（存在n阶可逆矩阵C，使得CAC?B，则称矩阵A与B相似，记为A~B，C为相似变换矩阵），矩阵相似对角化

① n阶方阵A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。② 若n阶方阵A有n个互不相等的特征根，则n阶方阵A一定可对角化，反之则不一定。

?1n阶矩阵A可对角化?⑴A有n个线性无关的特征向量， ⑵对A的每一个ki重特征根

?i，有r(?iI?A)?n?ki，⑶对A的每一个ki重特征根?i，(?iI?A)X?0的基础解系由ki

个向量组成。

矩阵对角化的步骤：

⑴求矩阵A的全部特征根?1,?2,...,?n； ⑵对不同的?i，求(?iI?A)X?0的基础解系；

⑶若能求出n个线性无关的特征向量，则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵

p???1?2...?n???1??????，其中，则有?12PAP????????n????1,?2,...,?n要和

?1,?2,...,?n对应。

60??4??例 判定矩阵A???3?50?是否可以对角化，若能，写出相应的P,?

??3?61???

例 设3阶方阵A的特征根为：1??1,?2?0,?3??1；对应的特征向量依次为：

?1??1???1?，求A.

?,????1?,????1??1??223????????1??1??1??????? 解：因A的特征根为：1故取??1,?2?0,?3??1；

?1?，而?1,?2,?3?????0???1????11?1?是依次对应的特征向量，所以取：，则?1?1??C??2C?(?1,?2,?3)??2?1?1???1??111????2因为A~?011?? 012?3?12??，所以有C?1AC??，即：

?11?1??1??011???111??010? ?1?????11??A?C?C??2?1?1??0???202??????111?????113??212?1???????22?相似矩阵的应用----求矩阵的高次幂

向量的内积，向量的正交性，施密特正交化法

?1??0??1??,a??1?,a??1?规范正交化。 例 用施密特正交化方法将向量组A：

a1??02??3?????1??1??0????????0??1???1? 解：取b1?a1；b?a?(b1,a2)a??1??1?0??1?2?；

22(b1,b1)1??2??2???1??1??1???????

?1??1?(b,a)(b,a)??1?0??b3?a3?(b1,b3)b1?(b2,b3)b2??1??2??1122?0??1???????1??1?21??2?? 21?3?1??3?2??1??1????2??2??3??1????3? 2???1?b3?1?4?3??3?3????1?2?3???????3? 再将其标准化：

1??1???2?， ??b1?1?0???0?e2?2??1??1?????2?e1?1b11b2?1???1???2??6????2?，1e3?b2??1??3?3?2?1??1???6??2??1b3实对称矩阵的对角化

?1?22?T例 A???24?4?，求正交阵Q，使得QAQ??.

???2?44?????1解：?I?A?2?24??2(??9)?0??1??2?0,?3?9

2?2??44??4当?1??2?0时，解方程组?0I?A?x?0，

??12?2??r?1?22??2???2?1????????2?44?000，基础解系为?1?1,?2?0 ??r?2r????????24?4?r32?2r11?000??0??1?????????当?3?9时，解方程组?9I?A?x?0，

?1?82?2?r?r???12??8?254??1r??245?21??2????522451?????2?1210????1r?22??1?2r?8r1821?????基础解系为?2?， ?2???0?18?18???011???5r3?2r1?3???1?r1?r2?092?05?9?r3?900??1?r2???????????????2??2???5???2??2?????将?1,?2正交化，令?1?1,?,????44????21?? ???2??2??1??0???1?????0???1,?1??1?5?0??5???????1???????2??2??1??5??1???????2??3???35??2???1???1?，单位化：?21?4?，?31???2?： e1?1?1?e???e????1???23????5???3?15???93523?0???1??3??????02???2?5?5???????????3??35???????令?Q??????25150?23541??0??3?T，则有QAQ??2????3??2?3??35535??0?

9??二次型，矩阵的合同（存在n阶非奇异矩阵C，使得CAC?B，则矩阵A合同于矩阵B，记为： A~B）任何一个二次型都可以通过非退化线性变换变成标准形。二次型变成标准形有配方法、合同线性变换（初等变换法）和正交化方法。 例 用配方法化二次型x1x2

T?x1x3?x2x3为标准形，并求出相应的满秩线性变换。

?x1?y1?y2?解：令?x2?y1?y2，则原二次型化为：

?x?y3?322222222 f?y1?y2?2y1y3?y1?2y1y3?y3?y3?y2?(y1?y3)2?y2?y3

?z1?y1?y3?y1?z1?z3??y2z2令?z2?，??y2?

?z??y?yz33?3?3?y1??10?1??z1??????z?，则

0即y2?01?????2??y??001??z???3??3??所以，

?x1??110??y1??110??10?1??z1??x???1?10??y???1?10??010??z??2????2??????2? ?x??001??y??001??001??z???3??????3??3???x1??11?1??z1??11?1? 即?x???1?1?1??z?，令C??1?1?1?，C??2?0，故在满秩线性

?2????2????x??001??z????3??3???001???x1?z1?z2?z3?222变换x?Cz，即?x2?z1?z2?z3，则原二次型化为标准形：f?z1?z2?z3

?x?z3?3?A????用合同线性变换（矩阵的初等变换）法化二次型为标准形，?????

?I??C? 例：求在合同线性变换下，化二次型2x1x2?2x1x3?2x2x3为标准形。

?011??? 解：二次型2x1x2?2x1x3?2x2x3的矩阵A?101 ????110???20?2??1?1??21?1?200?c2?c1?2??10?1?c3?c1?2??0??11?1??2?00??0??1?A??1?????I??1?0??0?11??1??01??1?210?c?c?12?00??1?110????001???11??2??01??1?210?r?r?12?00??1?110????001???101010?200???1?0??0?2???2?r?1r?00?212?1??1?r?r?1?231???11?1???2??1??000??0???2?， ???1???1??1??

?1?12?1所以C??12?00??x1??1?12???1?x2???12?x??00?3??用正交化方法 例 求一正交变换x?1???1?，C?1?0，在合同线性变换下x?Cz，即1???1??y1???， 原二次型化为标准形：f?2y2?1y2?2y2 ?1??y21322???y3??1????Cy，化二次型f?x1x2?x1x3?x2x3为标准形。

1??0122?1? 解：二次型的矩阵为：1A??202??110??22??由

?12?I?A??121?2??121?211?r3?r2?22??01?211??c3?c2?2211?????022??212?12?1?1???2??01 2?11??1??1???????1???????1??0

???2?2??22?求得A的特征根为：?1 当?1?1，?2??3??1， 2?1时，解齐次方程组?I?A?X?0，

0?10??1?10? 000??1111????1??01??0?11??????11??012222??1???r2?r1??r3?r222??r1?r20332???11?10???0?04?10?2?01?2????01244r2???r?r0000??3?31?1133??2???10?0???????0??244?2????x1????x2??x??3当?2x3x3，得其基础解系为： x3?1?????1??； ?1???????I?A时，解齐次方程组??3??1??X?0 21?2