④ L1与L2异面?(v1,v2,M1M2)?0
⑤ L1⊥L2?l1l2?m1m2?n1n2?0
例 求直线L1与L2的夹角?
?x?2y?z?1?0L1:??2x?y?z?1?0解： L1的方向向量v?x?y?z?1?0 L2:??x?y?2z?3?0e1?(1,2,1)?(2,?1,1)?12e22e31?3e1?e2?5e3
1?11e1e21?1e31?3e1?e2?2e3 2L2的方向向量v2?(1,1,1)?(1,?1,2)?11cos??v1?v2v1v2?3?3?1?1?5?232?(?1)2?(?5)232?12?(?2)2?18，所以
?710?arccos18 710 ⑥ 点到直线的距离
求点M1(x1,y1,z1)到直线L:x?x0l?y?y0m?z?z0的距离dn?M0M1?vv
?x?2y?4z?7?0M(2,?1,0)例．求点1到直线L:?的距离。
?x?2y?2z?1?0解：在直线L上取一点M0(3,?2,0)，直线L的方向向量为：
e1v?11
e2?22e34??4e1?6e2?4e3，M0M1?(?1,1,0)
?2e1e216e30?4e1?4e2?2e34M0M1?v??1?4，d?
M0M1?vv?42?42?(?2)2(?4)2?62?42?3 17 L: ?
x?x0l?y?y0m?z?z0nv?(l,m,n)n?(A,B,C)
M0(x0,y0,z0)
:Ax?By?Cz?D?0,
直线L与平面?的夹角为?，那么有??|?22??(v,n)|，于是sin??|cos?(v,n)|，故
sin??cos??v,n??16．平面束
Al?Bm?CnA?B?C22l?m?n222设直线L为：?A1x?B1y?C1z?D1?0，则除了A2x???A2x?B2y?C2z?D2?0B2y?C2z?D2?0平面外，
过直线L的所有平面都可表示为：A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0，
?为常数，称为过直线L的平面束方程。
例6 求直线L:?x?2y?4z?7?0在平面???x?2y?2z?1?0:2x?y?2z?5?0上的投影直线L?
的方程。
解：过直线L作平面??与平面?垂直，则平面??与平面?的交线为所求直线。
过直线L的平面束方程为：x?2y?4z?7??(x?2y?2z?1)?0， 即 (1??)x?2(??1)y?2(2??)z?(??7)?0
?1)?4(2??)?0
由于平面??与平面?垂直，所以有：2(1??)?2(? 即有： ??3， 所以平面??的方程为：2x?2y?z?2?0
?2x?2y?z?2?0
?2x?y?2z?5?0 直线L在平面?上的投影直线L?的方程为：?17曲面与方程
母线平行于坐标轴的柱面方程（三元方程F(x,y,z)?0中若缺x、y、z中某变量）
例①F(x,y)?0 准线C：xoy平面上的曲线F(x,y)?0母线L与z轴平行.旋转曲面
例以z轴为旋转轴 设
yoz坐标面上有一已知曲线C，方程为f(y,z)?0，绕z轴旋转一周。在方程
即得到曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲
f(y,z)?0中，将y改写为?x2?y2面的方程。 例 在
yoz坐标面上有
y?1绕z轴旋转一周为圆柱面：
?x2?y2?1即
x2?y2?1
线代与解几考试1
