1、行列式的性质与计算 法一：拉普拉斯定理展开
⑴寻找行列式中最简单的一行（列）⑵利用初等变换将该行（列）化为只有一个非零元素 ⑶利用拉普拉斯定理，按这一行（列）展开；⑷重复以上步骤，直到降为2阶，3阶行列式。 法二：利用三角形行列式
对行列式施以初等变换，使其化为三角形行列式，利用三角形行列式的特殊结论计算。 法三：利用行列式的定义
注意：n(n?4)阶行列式的计算不存在对角线法则。 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,2、(克莱姆法则) 若线性方程组??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn,(1)
的系数行列式D?0, 则线性方程组(1)有且仅有唯一解,其解为
xj?DjDa11a12??a1n??(j?1,2,,n),D?a21?an1a22?a2nan2?ann，其中Dj(j?1,2,?,n)是把D中第j列元
素a1j,a2j,?,anj对应地换成常数项b1,b2,?,bn,而其余各列保持不变所得到的行列式. 3、矩阵的加减运算（条件：同型矩阵），数乘运算（无条件：任何矩阵都可以
进行数乘运算），矩阵的乘法（条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数），矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB?BA，如果两矩阵相乘, 有AB?BA,则称A与B可换. 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从AC?BC必然推出A?B. 矩阵乘法满足的运算律：
①结合律A(BC)?(AB)C，②左、右分配律 (A?B)C?AC?BC，A(B?C)?AB?AC ③(kA)B?A(kB)
TTTTT矩阵A的转置AT(或A?).性质：(1).(A)?A,(2).(A?B)?A?B
(3)(kA)T?kAT,(4).(AB)T?BTAT
对称矩阵（A?A）. 性质：⑴A?A，⑵若A,B为对称矩阵，则A?B也为对称矩阵，但AB不一定为对称矩阵。⑶对任意矩阵A，AA,AA均为对称阵。
k个TTTT方阵的幂A?A?A? 例 已知A??k?A,k为自然数.，且规定A0?I
?12?2.f(x)?x?1，求f(A)。 ???21?
解：f?A??A2?I???12??12??10???34??10???44? ??????????????????21???21??01???4?3??01???4?4?n阶方阵的行列式|A|满足运算规律(设A,B为n阶方阵, k为常数)：
①|AT|?|A|(行列式性质1); ②|kA|?kn|A|; ③|AB|?|A||B|.
逆矩阵（存在n阶方阵B，使AB?BA?I，则称A为可逆矩阵或非奇异阵） 性质（1）可逆矩阵A有唯一的逆矩阵A?1，（2）若A可逆，则A?1也可逆且A?1（3）若同阶方阵A,B都可逆，则AB可逆且?AB?（4）若A可逆，则AT也可逆且ATA,B也可逆，
?1???1?A
?B?1A?1；反之，若AB可逆，则
???1?A?1， (5) AB?AC且A可逆
??T（6）若矩阵A可逆, ??0, ?A也可逆且?B?C，AB?O且A可逆?B?O，
(?A)?1?例 若
1?A?1。
A满足aA2?bA?cI?0(c?0)，求证：A可逆，并求A?1。
例 已知矩阵
A满足A2?3A?4I?0，求证A?4I与A?I不同时可逆。
分块矩阵的计算（把子快作为元素看待） 矩阵的初等变换
对A的行施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵左乘A ，对A的列施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵右乘A （逆矩阵定理）设为阶矩阵，那么下列各命题等价：
(1)A是可逆矩阵；(2)齐次线性方程组Ax?0只有零解；(3)A可以经过有限次初等行变换化为I；(4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积． 矩阵的秩（不为零的子式的最高阶数r）
行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 每一行第一个非零元的所在列中，该非零元下方的元素全为0.
行最简形矩阵：(1) 每一行第一个非零元都是1；(2) 每一行第一个非零元的所在列的其余元素都是零.
利用初等变换求矩阵的秩的方法：用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩r. 求逆矩阵：伴随矩阵法与初等变换法
伴随矩阵：行列式|A|的各个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵 伴随矩阵法①求A判断是否可逆，②求出所有Aij?A，③由公式
*A?1?1AA，求出A的
*?ab?可逆，则?11?d?b?
逆矩阵，特别有，二阶方阵A????A??cd???ca??ad?bc????
初等变换方法 （1）作一个n?2n的矩阵?AI?； （2）对矩阵?AI?作单一的行变换
?AI???IB?（3）A?1?B
解矩阵方程，例求解矩阵方程AX?B，则X?A?1B。也可对?AB?作单一的行变换
?AB???IA?1B?，则X?A?1B。
4、解线性方程组
设非齐次线性方程组AX?b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵~~~~A?(Ab)的秩, 即r(A)?r(A).且当r(A)?n时有唯一解;当r(A)?n时有无穷多解.
设齐次线性方程组AX?0有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r(A)?n. ~对非齐次线性方程组，将增广矩阵A化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，~~化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当r(A)?r(A)?r?n时，A的行
阶梯形矩阵中含有r个非零行，把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余n?r个作为自由未知量.
对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.
5、（投影定理） 向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦 , 即
Prj?AB?ABcos? 其中?为向量AB与轴?的夹角。
6、非零向量的方向角、模与坐标
7、两向量的数量积(内积) a?b?|a||b|cos?，
?为向量a与b的夹角，a?(x1,y1,z1)、
x1x2?y1y2?z1z2x?y?z212121b?(x2,y2,z2)，a?b?x1x2?y1y2?z1z2，cos??x?y?z222222
向量内积的运算规律， 1) 交换律: a?b?b?a，2) 分a⊥b的充分必要条件是a?b?0，
配律：(a?b)?c?a?c?b?c ，3) 结合律：(?a)?b??(a?b)?a?(?b) 8、向量的向量积(外积) a?b，其模手系确定，?为向量a与b的夹角。
a?b?absin?，其方向按a、b、a?b成右
a?b?absin?是以a、b为邻边的平行四边形
e1e2y1y2e3z1z2
的面积。设a?(x1,y1,z1)、b?(x2,y2,z2)，则a与b的向量积a?b?x1x2a//b的充分必要条件是a?b?0
运算规律 1) a?b??b?a (即不满足交换律)， 2) 分配律：
(a?b)?c?a?c?b?c a?(b?c)?a?b?a?c
3) 结合律： (?a)?b??(a?b)?a?(?b)
9．向量的混合积(a,b,c)为以a、b、c为棱的平行六面体的体积或体积的相反数。 设a?(x1,y1,z1)、b?(x2,y2,z2)，c?(x3,y3,z3)，则 (a,b,c)?xyz
222x3y3z3x1y1z1若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2),c?(x3,y3,z3)，则它们共面的充要条件是：
x1(a?b)?c?0即x2y1y2y3z1z2?0 z3x310、平面的方程
（1） 点法式方程平面，?上的点M0(x0,y0,z0)与其法向量n(A,B,C)，则
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
（2） 平面的一般方程，Ax?x（3）截距式方程， aBy?Cz?D?0，其中A,B,C不全为零
yz?1，其中a,b,c称为平面在三坐标轴上的截距 。 ?b?c11．平面的位置， （1） 若D?0 ，平面过原点，（2）A,B,C中有一个为零，则平面
平行于坐标轴，例A?0平面方程为By?Cz?D?0，平面平行于x轴；
（3）A,B,C中有两个为零，则平面与坐标轴垂直，例A?0,B?0平面方程为Cz?D?0平面与z轴垂直，特别， z?0，xoy平面； x?0，yoz平面； y?0，xoz平面。 12、空间一点到平面的距离
点P0(x0,y0,z0)到平面?:Ax?By?Cz?D?0的距离d?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222
13、两平面的夹角，两平面?1,?2的法向量为n1?(A1,B1,C1),n2?(A2,B2,C2)， ?为两平面的夹角，则cos??cos?(n1,n2)?① 平面?1//平面?2② 平面?1⊥平面?2
n1?n2?n1n22|A1A2?B1B2?C1C2|A?B?C212121A?B?C222222
?A1A2?B1B2?C1(?CD1D2重合)
?A1A2?B1B2?C1C2?0
14、一．空间直线的方程 （1）．直线的参数方程
已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，v?(l,m,n)为直线L的方向向量，
?x?x0?tl则直线L的参数方程为： ?y?y?tm
?0?z?z?tn0?（2）．直线的标准方程，个为零，如lx?x0l?y?y0m?z?z0，式中l,m,n不全为零，注：若有一个或两n?0，则约定x?x0?0，如l?m?0，则约定 x?x0?y?y0?0.
（3） 两点式方程，直线L过两点M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,z2)，则直线L的方程
x?x1x2?x1?y?y1y2?y1?z?z1z2?z1
（4）．直线的一般式方程为??A1x?B1y?C1z?D1?0，其中n1(A1,B1,C1),n2(A2,B2,C2)?A2x?B2y?C2z?D2?0不平行。一般方程化标准方程 例 将直线??4x?3y?z?5?0化为标准方程。
?3x?2y?2z?1?0解： 令z?0，代入解得x?7,y??11，于是直线过M0(7,?11,0)，
e1e232?1?8e1?11e2?e3 2e3n1??4,3,?1?,n2??3,2,2?，可取直线的方向向量v?43故直线的标准方程为：15．空间直线的位置关系
x?7y?11z ??8?11?1L1:L2:x?x1l1x?x2l2??y?y1m1y?y2m2??z?z1n1z?z2n2v1?(l1,m1,n1)v2?(l2,m2,n2)M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)
，cos???为L1与L2的夹角（一般指锐角）
v1?v2l1l2?m1m2?n1n2， ?222222|v1||v2|l1?m1?n1l2?m2?n2① L1//L2(不重合)?v1//v2//M1M2
//M1M2
② L1与L2重合?v1//v2③ L1与L2相交?(v1,v2,M1M2)?0
线代与解几考试1
