问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为所需的时间是
T吗？走过该距离的一半4TT吗？振子从平衡位置出发经历时运动的位移是多少？ 88?解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是，所需的
2?T时间?t??
2?4振子的速度v???Asin(?t??)不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距
TA。振子从平衡位置运动到处（OM 位置）时，振幅82?T?矢量转过了的角度，即?t??
6?126TATA即振子从平衡位置运动到所用的时间是，而不是。振子从运动到平衡
12282?T位置所用的时间是?t??。
3?6T振子从平衡位置出发经历时运动的位移是
8离的一半所需的时间不是
x?Acos(?T??2?)?Acos(?)?A 8242图4-5
疑难点2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？
解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即T?2?m；最大速度的表达式是k?A，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍
1时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为E?kA2，所以振幅加倍
2时振动能量变为原来4倍
4.5习题解答
4.1 两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为?等于[ ] (A) (k1?k2)/m/?2??
k1 k2 m 习题4.1图
(B) k1k2/[(k1?k2)m]?2?? (C) m/(k1?k2)?2?? (D) (k1?k2)/(k1k2m)/(2?) 解析：正确答案（B）
两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为Δx1和Δx2，k的形变量为 Δx，则有Δx＝Δx1+Δx2，亦即
111?? kk1k2k?k1k2 k1?k2据此可确定系统的固有频率为
??12?k?k1k2/[(k1?k2)m]m?2??
4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度
?，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方
程，则该单摆振动的初相为［ ］
(A) π (B)π/2 (C) 0 (D)θ 解析：正确答案（C）
由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选（C）
4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相???动曲线为［ ］
?3，则振
习题4.3图
解析：正确答案（A）
?A由已知条件可知：初始时刻振动的位移是y?Acos(?)?，速度是
32v???Asin(?t??)?3?A，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜2率是正值。
4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： [ ]
22（A）x?2cos(?t??)cm
3322（B）x?2cos(?t??)cm
3342（C）x?2cos(?t??)cm
3342（D）x?2cos(?t??)cm
33解析：正确答案（D）
由振动图像可知，初始时刻质点的位移是?习题4.4图
t?0??2?34????3x/cmA，且向22y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是?，振
3A2动曲线上给出了质点从?到A的时间是1s，其对应的相位从?变化到2?，
232?2??3rad?s?1?4?rad?s?1。 所以它的角速度??1342简谐振动的振动方程为x?2cos(?t??)
334.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是[ ] (A) T/4 (B) T/2 (C) T (D) 2T 解析：正确答案（B）
质点作简谐振动的动能表达式是Ek?1m?2A2sin2(?t??)，可见其变化的周期是21简谐振动周期的。
24.6 设某人一条腿的质量为m，长为l，当他以一定频率行走时最舒适，试用一
种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为[ ] （A）12?g1（B）l2?2g1（C）3l2?g1（D）2l2?3g 2l解析：正确答案（D）
可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m，长为l的细长杆，它绕端
1lJ点的转动惯量J?ml2,根据复摆的周期公式T?2?，这里h?。故频率
32mgh??12?3g 2l4.7 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［ ］
3（A）?
2（B）?
1（C）?
2（D）0
解析：正确答案（B）
由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是?，
习题4.7图
Acos(?t)和x2?Acos(?t??)，它们的振幅不同，对于这样2A两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是x2?cos(?t??)。
2运动方程分别是x1?4.8 质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴负方向运动时，从－所需要的时间为[ ] （A）
A处到-A处这段路程2?3TTTT （B） （C） （D）
12468解析：正确答案（B）
A处212对应的相位是?，位移是-A处对应的相位是?，所以这段路程的相位差是?，
33已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x轴负方向运动时在－
对应的时间是
?3?TT? 2?64.9 弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为[ ]
（A）25J （B）50J （C）75J （D）100J 解析：正确答案（C）
物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep?12kx，其动能和势能都随时间做2周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，
12kA，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于21A1最大位移的一半时其势能为Ep'?k()2?kA2，所以此时的动能是
22811133Ek?kA2?kA2?kA2?J?100?J?75J。
28244势能达到最大值Ep?4.10一质点作简谐振动，速度最大值vm?0.05m?s?1，振幅A=2cm。若令速度具
有正最大值的那一时刻为t=0,则振动表达式为 。 解析：y?0.02cos(2.5t)m
速度的最大值vm?A??0.05m?s?1，A=0.02m，所以
??vm0.05??2.5rad?s?1。 A0.02振动的一般表达式x?Acos(?t??)，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：??0，振动表达式为y?0.02cos(2.5t)m 4.11已知一个谐振子的振动曲线如图所示，求：（1）a、b、c、d、e各状态的相位分别为 。
d'A2c'b'a'?A2e'习题4.11图
大物习题答案第4章 机械振动概要
