高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法 .doc

一元二次不等式及其解法

【知识梳理】

1．一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b2－4ac 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 【常考题型】 题型一、一元二次不等式的解法

【例1】 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)x2－4x－5≤0； 81

(3)－4x2＋18x－4≥0； 12

(4)－2x＋3x－5＞0；

Δ>0 Δ＝0 有两相等实根x1b＝x2＝－2a Δ<0 有两相异实根x1，x2，(x1＜x2) 没有实数根 ?b??x|x≠－? 2a?? R {x|xx2} {x|x1

[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等1

实根x1＝－3，x2＝－2.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式1

的解集为{x|x＞－2，或x＜－3}．

(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

?9?29???(3)原不等式可化为?2x－2?≤0，所以原不等式的解集为x|x＝4?.

????

(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.

(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

【类题通法】

解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；

(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式：

(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.

(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6.

结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为

{x|1

(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.

结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 2解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝3. 2

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}. 3

题型二、解含参数的一元二次不等式

【例2】 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.

[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

当a＝－1时，原不等式解集为?；

当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 【类题通法】

解含参数的一元二次不等式时：

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】

2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)． 解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0， 当a＝0时，x＜1， ?1?当a＞0时?x＋a?(x－1)＜0

??1

∴－a＜x＜1. 当a＝－1时，x≠1，

?1?当－1＜a＜0时，?x＋a?(x－1)＞0，

??1

∴x＞－a或x＜1. 1

当a＜－1时，－a＜1， 1

∴x＞1或x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当a＝0时，{x|x＜1}； 当a＞0

??1?时，x|－a＜x＜1?； ??

当a＝－1时，{x|x≠1}； 当－1＜a＜0时，

?1?

?x|x＜1或x＞－?.

a??

当a＜－1

??1??， x|x＜－或x＞1时，a??

题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系

【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．

[解] ∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． ?－a＝1＋2，

由韦达定理有?

?b＝1×2，?a＝－3，得? ?b＝2，

代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.

1

由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜2或x＞1. 1??

∴bx2＋ax＋1＞0的解集为?－∞，2?∪(1，＋∞)．

??【类题通法】

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

【对点训练】

1

3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－2和2. (1)求a、b的值；

(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.

1

解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－2和2， 1b－＋2＝－??2a，

由根与系数的关系，得?12

??－2×2＝a.解得a＝－2，b＝3.

(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0， 1

即2x2－3x＋1＜0，解得2＜x＜1.

1

∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|2＜x＜1}． 【练习反馈】

1．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A．{x|x＞0} C．{x|x＞2或x＜0}

B．{x|x＜2} D．{x|0＜x＜2}

解析：选D 原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2. 2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 则M∩N为( )

A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7} C．{x|x≤－2或x＞3}