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人教版高中数学优质教案5:3.3.2 函数的极值与导数 教学设计

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人教版高中数学选修1-1教学设计

3.3.2函数的极值与导数

教学目标

1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义; 2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 教学重点 求函数的极值 教学难点

严格套用求极值的步骤 课前准备 多媒体课件 一.复习回顾

二.新知探究

函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线

a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小.

2、观察函数f(x)=2x3-6x2+7的图象,

思考:函数y=f(x)在点x=0,x=2处的函数值,与它们附近所有各点 处的函数值,比较有什么特点?

(1)函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大, 我们说f(0) 是函数的一个极大值;

(2)函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小, 则f(2)是函数的一个极小值.

函数y=2x3-6x2+7 的一个极大值: f (0);一个极小值: f (2). 函数y=2x3-6x2+7 的一个极大值点: ( 0,f (0) );

1

人教版高中数学选修1-1教学设计 一个极小值点: ( 2,f (2) ). 3、极值的概念:

一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0) 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)>f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).

极大值与极小值统称为极值. 4、观察下图中的曲线

考察上图中,曲线在极值点处附近切线的斜率情况.

上图中,曲线在极值点处切线的斜率为0,

极大值点左侧导数为正,右侧为负;极小值点左侧导数为负,右侧为正. 函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点,区间的端点不能成为极值点.

函数的极大(小)值可能不止一个,并且函数的极大值不一定大于极小值,极小值不一定小于极大值.

函数在[a, b]上有极值,其极值点的分布是有规律的,像相邻两个极大值间必有一个极小值点.

5、利用导数判别函数的极大(小)值:

一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:

⑴如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,那么,f(x0)是极大值; ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,那么,f(x0)是极小值; 思考:导数为0的点是否一定是极值点?

导数为0的点不一定是极值点.

如函数f(x)=x3,x=0点处的导数是0,但它不是极值点. 三.例题精析 例1:求函数y?13x?4x?4的极值. 32

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解:y?=x2-4=(x+2)(x-2).令y?=0,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时,y?,y的变化情况如下表.

因此,当x=-2时,y极大值=求可导函数f (x)的极值的步骤: ⑴求导函数f ?(x); ⑵求方程f ?(x)=0的根;

⑶检查f ?(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f (x)在这个根处取得极小值. 例2:求函数y=(x2-1)3+1的极值.

284,当x=2时,y极小值=-. 33

解:定义域为R,y?=6x(x2-1)2.由y?=0可得x1=-1,x2=0,x3=1 当x变化时,y?,y的变化情况如下表:

当x=0时,y有极小值,并且y极小值=0.

四.课堂小结

1.考察函数的单调性的方法;2.导数与单调性的关系;3.用导数求单调区间的步骤. 五.书面作业

六.板书设计

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七.教后记 1. 2.

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人教版高中数学选修1-1教学设计3.3.2函数的极值与导数教学目标1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义;2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点求函数的极值教学难点严格套用求极值的步骤课前准备多媒体课件一.复习回顾二.新知探究函数的极值与导数的关系1、观察
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