人教版高中数学选修1-1教学设计
3.3.2函数的极值与导数
教学目标
1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义; 2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 教学重点 求函数的极值 教学难点
严格套用求极值的步骤 课前准备 多媒体课件 一.复习回顾
二.新知探究
函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小.
2、观察函数f(x)=2x3-6x2+7的图象,
思考:函数y=f(x)在点x=0,x=2处的函数值,与它们附近所有各点 处的函数值,比较有什么特点?
(1)函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大, 我们说f(0) 是函数的一个极大值;
(2)函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小, 则f(2)是函数的一个极小值.
函数y=2x3-6x2+7 的一个极大值: f (0);一个极小值: f (2). 函数y=2x3-6x2+7 的一个极大值点: ( 0,f (0) );
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人教版高中数学选修1-1教学设计 一个极小值点: ( 2,f (2) ). 3、极值的概念:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0) 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)>f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).
极大值与极小值统称为极值. 4、观察下图中的曲线
考察上图中,曲线在极值点处附近切线的斜率情况.
上图中,曲线在极值点处切线的斜率为0,
极大值点左侧导数为正,右侧为负;极小值点左侧导数为负,右侧为正. 函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点,区间的端点不能成为极值点.
函数的极大(小)值可能不止一个,并且函数的极大值不一定大于极小值,极小值不一定小于极大值.
函数在[a, b]上有极值,其极值点的分布是有规律的,像相邻两个极大值间必有一个极小值点.
5、利用导数判别函数的极大(小)值:
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,那么,f(x0)是极大值; ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,那么,f(x0)是极小值; 思考:导数为0的点是否一定是极值点?
导数为0的点不一定是极值点.
如函数f(x)=x3,x=0点处的导数是0,但它不是极值点. 三.例题精析 例1:求函数y?13x?4x?4的极值. 32
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解:y?=x2-4=(x+2)(x-2).令y?=0,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时,y?,y的变化情况如下表.
因此,当x=-2时,y极大值=求可导函数f (x)的极值的步骤: ⑴求导函数f ?(x); ⑵求方程f ?(x)=0的根;
⑶检查f ?(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f (x)在这个根处取得极小值. 例2:求函数y=(x2-1)3+1的极值.
284,当x=2时,y极小值=-. 33
解:定义域为R,y?=6x(x2-1)2.由y?=0可得x1=-1,x2=0,x3=1 当x变化时,y?,y的变化情况如下表:
当x=0时,y有极小值,并且y极小值=0.
四.课堂小结
1.考察函数的单调性的方法;2.导数与单调性的关系;3.用导数求单调区间的步骤. 五.书面作业
六.板书设计
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七.教后记 1. 2.
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人教版高中数学优质教案5:3.3.2 函数的极值与导数 教学设计
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