第十二讲
期末考试
一、 1．
填空题（每题6分，共60分。如有两个空，只对一个给3分）
有17个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组八个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前三名共六个队再进行单循环赛决定冠亚军。问：共需比赛__________场。
【分析】 分三部分考虑，第一组预赛、第二组预赛和最后的决赛。第一组要赛C72?21(场)，第
二组要赛C82?28(场)，决赛阶段要赛C62?15(场)，所以总场数为：
21?28?15?64(场)。
2．
L9910【分析】 在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数：991442443；
20个9将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：123456789101112L9899100，从中
划去170个数字，那么剩下的22位数最大是__________，最小是__________。
最小数的第一位是“1”，再保留10:90中的9个“0”，再在91:100中留下12个尽量小的数，即得最小数：1000000000123456789100。
3．
有一个展览会场如右图所示，共有16个展室，每两个相邻的展室之间都有门相通，问__________（填能或不能）从入口进去，不重复地参观完所有的展室后从出口出来。
【分析】 黑白相间染色后发现，入口和出口都是黑色，但每次都是从黑格到白格或从白格到黑格，
这样应是从黑格进去，白格出来，但出口也是白格，所以不可能。
4． 设自然数n有下列性质：从1、2、…、n中任取65个不同的数，其中必有两数之差等
于8，这样的n最大不能超过__________。
【分析】 当n?128时，将1、2、…、128按每组中两数的差为8的规则分成64组，所以当任取65个数时，必有两个数在同一组，它们的差等于8。当n?129时，取上面每组中的前一个数，和129，一共65个数，而它们中任两个数的差不为8。因此n最大不能超过128。
5． 小刚在纸条上写了一个四位数，让小明猜。小明问：“是6031吗?”小刚说：“猜对了1个数字，且位置正确。”小明问：“是5672吗?”小刚说：“猜对了2个数字，但位置都不正确。”小明问：“是4796吗?”小刚说：“猜对了4个数字，但位置都不正确。”根据以上信息，可以推断出小刚所写的四位数__________。
【分析】 由两人的第三次问答可知小刚所写的四位数是由数字4，7，9，6组成的。因为数字6在6031中出现，所以据小刚的第一次回答知四位数的千位数字就是6。又数字7在5672和4796中均出现过，且小刚说其位置均不正确，所以7应该出现在个位。数字9在4796中出现，但它的位置也不正确，所以9只能在百位，进而4是十位数字。综上所述，所求的四位数是6947。
6． 将5:16这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条
直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，
把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方
面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，6S?(5?6?7?L?16)?2，得到S?42，即所求的相等的和为42。 7． 小红的书架上原来有8本书，不重新排列，再放上4本书，可以有_______种不同的放法。
【分析】 （法1）放第一本书时，有原来的8本书之间和两端的书的外侧共9个位置可以选择；
放第二本书时，有已有的9本书之间和两端的书的外侧共10个位置可以选择。同样道理，放第三本书时，有11个位置可以选择，放第四本书时，有12个位置可以选择。由乘法原理，一共可以有9?10?11?12?11880种不同的放法。
8． 如右图，加法算式中，七个方格中的数字之和等于+__________。
【分析】 个位之和为9，十位之和为17，百位之和为18，和的千
位为1，所以七个方格中的数字之和为9?17?18?1?45。
9． 现有一个袋子，里面装有6种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有60个，则在这
个袋子中至少要取出__________个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有10个。
【分析】 要保证取出的球至少有三种颜色，至少应取60?2?1?121个球；要保证取出的球中有
三种颜色的球都至少有10个，那么至少要取60?2?9?4?1?157个球（否则两种颜色的球各取60个、其余四种颜色的球各取9个，共156个，这样将无法取出的球中有三种颜色的球都至少有10个），由于157f121，所以至少要取出157个球。
10． 如图⑴，对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作。经过若干次操作后
由图⑴变成图⑵，则图⑵中A处的数是__________。
101A229790102222101(1)22(2)【分析】 黑白相间染色，黑格与白格中的数字之和的差不变，所以A?5。
二、 解答题（每题8分，共40分） 1. 右面式中每个口表示一个数字，那么乘积是多少？
5W5知，B、C中一个是5，【分析】 如右式，可知E?1。由6AB?C?W另一个是奇数。若C?5，
乘积的百位不可能是5，所以B?5。因为B?5，所以G?5或0。若G?5，则F?9，从而A?9，即6AB?695，但695?C不可能得到W5W5，不合题意；若G?0，则F?4，5W5，得到C?7。因为B?5，G?0，所以从而A?4，即6AB?645，由645?C?WW5W4W，由6AB?7D1?645?7D1?W得D?2，原算式为645?721?465045。 D是偶数。
2.
能否用25个
所示的卡片拼成一个10?10的棋盘？
【分析】 不能。将10?10的棋盘黑白相间染色，有50个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，25张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住50个黑格。
3. 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔2人发一块糖；从右到左
第一人发一个苹果，以后每隔4人发一个苹果，结果有16个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？
【分析】 由题知，从左数每3人中有1人拿到糖，从右数每5人中有一人拿到苹果，?3,5??15，
所以每15人中有1人糖和苹果都拿到，由于共11人糖和苹果都拿到，所以糖和苹果都拿到的小朋友中间的人数为：15?(16?1)?1?226；在他们的左边，最多有4人拿到糖，所以左边最多有3?4?12人；在他们的右边，最多有2人拿到苹果，所以右边最多有5?2?10人；所以这些小朋友最多有226?12?10?248人。
4.
第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分。比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是多少分？
【分析】 由于每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以每场比赛两队的得分
2?6场比赛，所以比赛完成之之和为2分或者3分，四支球队进行单循环赛，共进行C4后各队总得分至少为12分，最多为18分，又各队得分是四个连续的自然数，而
1?2?3?4?10，2?3?4?5?14，3?4?5?6?18，4?5?6?7?21，所以各队得分只可能为2,3,4,5或者3,4,5,6。
如果四队得分为3,4,5,6，那么总得分为18分，则每场比赛两队的得分之和都为3分，
即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是3的倍数（3分或0分），那么每支队的总得分也都是3的倍数，而不可能出现有球队得4分或5分的情况，矛盾，所以四队得分不能为3,4,5,6，只能为2,3,4,5。
由于四队得分分别为2,3,4,5，所以第一名得5分，只能是胜一队而平两队，则这3场
比赛中与第一名平局的两队各得1分，输给第一名的队得0分，由于这三支队共得2?3?4?9分，所以三队彼此之间的3场比赛共得9?1?1?7分，而每场比赛共得2分或3分，所以只能为两场2分，一场3分，即这3场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负。
如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支
队之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到3分，在与输给第一名的那支队的比赛中又得到1分，这样它总共得到1?3?1?5分，矛盾，所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：0?1?3?4，即输给第一名的球队的得分是4分。
5． 某池塘中有A、B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，
今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
【分析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船。
⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在
1?3种方法；②若两个儿童不在同一条船A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C31?2种选择，上，即分别在A、B两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有C211个成人有C3?3种选择，所以有2?3?6种方法。故5人都不乘坐C船有3?6?9种安
全方法；
1?3种选择。其余的2个成人⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有C3与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成
1?2种方法，所以此时有3?2?6种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那人，有C21?2种选择，所以此种么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有C2情况下有3?2?2?12种方法；故5人中有1人乘坐C船有6?12?18种安全方法。
所以，共有9?18?27种安全乘法。
三、 1.
附加题（从三道题目中选择两道来做，每题10分，共20分）
现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出1个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
【分析】 设取出1个后第二堆苹果数为x个，那么原来第二堆苹果数为(x?1)个，第一堆苹果数
为(3x?1)个。从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，那么第二堆还剩
x?1??(3x?1)?34??34?2x（个），第三堆苹果还剩(34?2x)?2?17?x（个），所以
第三堆原有苹果数为17?x?(3x?1)?34?2x?16（个），原来三堆苹果数之和为
(3x?1)?(x?1)?(2x?16)?6x?14，可见x越大，原来三堆苹果数之和也越大。由于各取出同样多个后，第三堆苹果至少还剩1个，所以17?x?1，得x?16，即x最大为16，此时原来三堆苹果数之和为6?16?14?82个，所以原来三堆苹果数之和的最大值是82。
2. 用9个1?4的长方形能不能拼成一个6?6的正方形？请说明理由。
【分析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用
1231?4来覆盖，我们对6?6正方形用四种颜色染色。为了
方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色。为234了使每个1?4长方形在任何位置盖住的都一样，我们采
341
用沿对角线染色，如右图。这样，可以发现无论将1?4412
123
234123
41
2
12
2334
344112
第12讲竞赛123班教师版
