2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第19讲：利用导数研究函数的极值和最值
一、课程标准
1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，
3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
二、基础知识回顾 1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
三、自主热身、归纳总结
1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A．1＋ln 2 1＋ln 2C.
2
B．1－ln 2 1－ln 2D. 2
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【答案】C
1122
【解析】 因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－，令2x－＝0得x＝，令f′(x)>0，则 x>；令
xx22f′(x)<0，则0 222 .所以f(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小22???2? 21＋ln 22?2 －ln＝，故选C. 22?2? 2、. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(B ) A. (－1，2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞) C. (－3，6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 【答案】B 【解析】 ∵f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1，∴f′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)， 由于函数y＝f(x)既有极大值，又有最小值，则导函数y＝f′(x)有两个零点， ∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，即m2－3m－18>0，解得m<－3或m>6. ∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).故选B. 3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( ) A．11或18 C．18 【答案】C 【解析】∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 2??1＋a＋b＋a＝10， ∴? ?3＋2a＋b＝0，? B．11 D．17或18 ??a＝－3， 解得? ?b＝3? ??a＝4， 或? ?b＝－11.? ??a＝－3， 而当? ?b＝3? 时，函数在x＝1处无极值，故舍去． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18. 4、函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( ) A．0 C．2 【答案】A 【解析】 函数定义域为(0，＋∞)， 17 / 17 B．1 D．无数 2021届新课改地区高三数学一轮专题复习 6x2－2x＋11 且f′(x)＝6x＋－2＝， xx 由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点． 5、(多项选择)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述错误的是( ) ．． 第1题图 A. f(b)＞f(a)＞f(c)； B. 函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值； C. 函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值； D. 函数f(x)的最小值为f(d). 【答案】ABD 【解析】 由导数与函数单调性的关系知， 当f′(x)＞0时f(x)递增，f′(x)＜0时f(x)递减， 结合所给图像知，x∈(a，c)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(a，c)上单调递增，故f(a)＜f(b)＜f(c)，A错误；x∈(c，e)时，f′(x)＜0, ∴f(x)在(c，e)上单调递减，函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；故C正确，B、D错误.故选A，B，D. 6、(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( ) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减 C．函数f(x)的极值点为c，e D．函数f(x)的极大值为f(b) 【答案】ABD 【解析】由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x) 17 / 17 2021届新课改地区高三数学一轮专题复习 ＞0，所以f(x)在(－∞，c)上递增，在(c，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，所以f(d)＞f(e)，故A错误；函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，c]上递增，在[c，d]上递减，故B错误；函数f(x)的极值点为c，e，故C正确；函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误． x 7．(多选)对于函数f(x)＝x，下列说法正确的有( ) e 1 A．f(x)在x＝1处取得极大值 eB．f(x)有两个不同的零点 C．f(4)＜f(π)＜f(3) D．πe2＞2eπ 【答案】AC 1－xx 【解析】由函数f(x)＝x，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝x.当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ee1 ＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上 e单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4＞π＞3＞1，可得f(4)＜f(π)＜f(3)，所以C正确；由f(x)在π2 (1，＋∞)上单调递减，且π＞2＞1，可得π＜2，即πe2＜2eπ，所以D错误．故选A、C. ee11 8、 函数f(x)＝x3－4x＋的极大值是____，极小值是____． 33 17 【答案】 ，－5 3 【解析】 f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ 单调递增 －2 0 极大值 (－2，2) － 单调递减 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 单调递增 17 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－5. 32x＋1 9、f(x)＝2的极小值为________． x＋2 1 【答案】－ 2 2(x2?2)?2x(2x?1)?2(x?2)(x?1)【解析】f′(x)＝＝. (x2?2)2(x2?2)2令f′(x)<0，得x<－2或x>1； 17 / 17 2021届新课改地区高三数学一轮专题复习 令f′(x)>0，得－2 1 ∴f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数，∴f(x)极小值＝f(－2)＝－. 2 10、(一题两空)(2019·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________． 【答案】：0 －e 【解析】由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e2＋(4－2a－1)e2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)为增函数，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e. 四、例题选讲 考点一 利用导数研究函数的极值 1 例1 已知函数f(x)＝＋lnx，求函数f(x)的极值． x 111x－1 【解】 ∵f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝－2＋＝2，令f(x)＝0，得x＝1，列表： xxxx x f′(x) f(x) (0，1) － 单调递减 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 单调递增 － － ∴x＝1是f(x)的极小值点，f(x)的极小值为1，无极大值． 方法总结：运用导数求导函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值. 变式、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). 1 (1)当a＝时，求f(x)的极值； 2 (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 11112－x 解 (1)当a＝2时，f(x)＝ln x－2x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝x－2＝2x， 17 / 17
第19讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
