第十六章 二次根式
1．二次根式的概念
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.
2．二次根式的性质:
?a?2?a?a?0?;?a?a＞0?，?a2?a??0?a?0?,??a?a＜0?.? 3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式．
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．二次根式的乘除法则：
乘法：
≥0，b≥0)； agb ＝ab (a
ab ＝
a b(a≥0，b>0)．
除法：
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算
有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
考点一：二次根式有意义的条件
1．求使?√???3+
11+有意义的x的取值范围． |??|?3√4???【分析】式子有意义，根号里面的数为非负数，分母不能为0． 【解答】解：欲使原式有意义，得： ???3≥0???3≥0{|??|?3≠0==＞{|??|?3≠0， 4???＞04???＞0∴x的取值范围为：3＜x＜4．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
考点二：二次根式的性质与化简
2．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：√??2+√(?????)2?|a+b|+|﹣c|．
【分析】利用数轴表示数的方法得到c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，再利用二次函数的性质得原式＝|a|+|c﹣b|﹣|a+b|+|c|，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：由数轴得c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|， 所以原式＝|a|+|c﹣b|﹣|a+b|+|c| ＝﹣a﹣（c﹣b）﹣（a+b）﹣c ＝﹣a﹣c+b﹣a﹣b﹣c ＝﹣2a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练运用二次根式的性质进行化简计算．
考点三：二次根式的混合运算
3．计算：
212（1）√13÷√23×√15 （2）√18?（4√2?√50）
（3）（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（3√5?1）2 （4）|√3?√2|+|√3?2|+√(?2)2
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算； （4）利用绝对值的意义和二次根式的性质计算．
1【解答】解：（1）原式=√3×7×5＝1； （2）原式＝3√2?2√2+5√2＝6√2；
（3）原式＝49﹣48﹣（45﹣6√5+1）＝1﹣46+6√5＝﹣45+6√5； （4）原式=√3?√2+2?√3+2＝4?√2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
537考点四：二次根式的化简求值
4.化简求值：已知a＝2?√3，求
1?2??+??2
???1
?
√??2?2??+1??2???
的值．
【分析】先化简，再代入解答即可． 【解答】解：
1?2??+??2
???1
?
√??2?2??+1??2???
＝a﹣1+，
1
??把a＝2?√3时，原式＝2?√3?1+2+√3＝3．
【点评】此题考查二次根式的问题，关键是根据二次根式的性质化简．
考点五：二次根式的应用
5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号
122??2+?????22√表示即为：S=[?????()]（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）．请利用这个公式求a=√5，
422
b＝3，c＝2√3时的三角形的面积．
【分析】由a=√5，b＝3，c＝2√3得出a2＝5，b2＝9，c2＝12，进一步代入计算公式化简得出答案即可． 【解答】解：∵a=√5，b＝3，c＝2√3， ∴a2＝5，b2＝9，c2＝12，
2
122??2+?????2215+9?122√∴三角形的面积S=[?????()]=√[5×9?()] =√11．
4242【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的混合运算的方法以及化简的方法是解决问题的关键． 6．小明在解方程√24????√8???=2时采用了下面的方法：由
（√24????√8???）（√24???+√8???）＝（√24???）2﹣（√8???）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16， 24???=5
又有√24????√8???=2，可得√24???+√8???=8，将这两式相加可得{√，将√24???=5两边平
8???=3√方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程√??2+42+√??2+10=16的解是 x＝±√39 ； （2）解方程√4??2+6???5+√4??2?2???5=4x．
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