第一章习题答案
1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；
??x1??一级检验员根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=?????；
x二级检验员?2???（2）建立数学模型的目标函数；
取检验费用为目标函数，即：
f(X)=8*4*x1+8*3*x2+2（8*25*0.02x1+8*15*0.05x2） =40x1+36x2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X)=40x1+36x2X∈R s.t.g1(X)=1800-8*25x1+8*15x2≤0
g2(X)=x1-8≤0 g3(X)=x2-10≤0
g4(X)=-x1≤0 g5(X)=-x2≤0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[?]，许用最大变形量[?]。欲选择一组设计变量X?[x13·
x2x3]T?[dD2n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数
n?3，簧丝直径d?0.5，弹簧中径10?D2?50。试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解：（1）确定设计变量；
?x1??d?????根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=x2?D2； ??????n???x3???（2）建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即：
f(X)=
?24rx1x2x3
2（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X)=
?24rx1x2x3X∈R
23·
s.t.g1(X)=0.5-x1≤0
g2(X)=10-x2≤0
g3(X)=x2-50≤0 g4(X)=3-x3≤0 g5(X)=(1?x18Fx2)????≤0 2x2?x1338Fx2x3g6(X)=????≤0 4Gx11-3某厂生产一个容积为8000cm的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
3
?x1??底面半径r?解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=?????,
x高 h?2???表面积为目标函数，即：
minf(X)=?x12+2?x1x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
minf(X)=?x12+2?x1x2
X=[x1,x2]∈R
s.t.g1(X)=-x1≤0
g2(X)=-x2≤0
h1(X)=8000-?x12x2=0
1-4要建造一个容积为1500m的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；
3
T
2
?x1??长?????根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=x2?宽； ???????x3????高?（2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f(X)=8(x1x3+x2x3)+6x1x2+12x1x2
（3）建立数学模型的约束函数；
3
1）仓库的容积为1500m。即：
1500-x1x2x3=0
2）仓库宽度为高度的两倍。即：
x2-2x3=0
3）各变量取值应大于0，即：
x1>0,x2.>0.，则-x1≤0，-x2≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X)=8(x1x3+x2x3)+18x1x2X∈R s.t.g1(X)=-x1≤0
g2(X)=-x2≤0
3·
g3(X)=-x3≤0 h1(X)=1500-x1x2x3=0
h2(X)=x2-2x3=0
1-5绘出约束条件：
222x1?x2?8；?2x1?x2?8；x1x2?4所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
X1?[132]T;X2?[234]T;X3?[414]T。
第二章习题答案 2-1请作示意图解释：X2-2已知两向量P1?[1(k?1)?X(k)??(k)S(k)的几何意义。
2?20]T,P2?[2024]T,求该两向量之间的夹角?。
2-3求四维空间内两点(1,3,?1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。 2-4计算二元函数f(X)?x1?x1x2?5x1?6在X32(0)?[11]T处，沿方向S?[1?2]T的方向导数
fs'(X(0))和沿该点梯度方向的方向导数f'?(X(0))。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为 求：
、2、3、4时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)?1(2)找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值(3)若加入一个等式约束条件：
求此时的最优解X3，
??
f(X1?)，约束最优解X2?和f(X2?)；
f(X3?)。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1*＝[3，4]T
函数值f(X1*)=0。
而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：
?x1?x2?5?0，解得X2*=[2，3]。 ??x1?x2?1?0函数值f(X2
*
)=(2-3)2+(3-4)2=2。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立
?x1?x2?5?0方程：?，解得X3*=[5/2，5/2]。
?x1?x2?0函数值f(X3
*
)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=2.5。
42222-6试证明在(1,1)点处函数f(X)?x1?2x1x2?x1?x2?2x1?5具有极小值。 证明：求驻点：
?f(X)?f(X)32??2x1?2x2 ?4x1?4x1x2?2x1?2，
?x2?x1由?f(X)?f(X)?0，?0，得：驻点x*?[11]T，极值f(x*)?4 ?x1?x2H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。
2-7求函数f(X)?3x1?2x2?2x1?x2?10的极值点，并判断其极值的性质。 解：
22?f(X)?f(X)?6x1?2，?4x2?1 ?x1?x2由?f(X)?f(X)?0，?0，得：极值点x*?[1/31/4]T，极值f(x*)?229/24 ?x1?x2H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。
2-8试判断函数f(X)?2x1?x2?2x1x2?x1?1的凸性。 解：
22?f(X)?f(X)?4x1?2x2?1，?2x2?2x1 ?x1?x2H(X)是正定的， 所以，f(X)为凸函数。
2-9
试用向量及矩阵形式表示
f(X)?x12?x22?10x1?4x2?60并证明它在
D?{x1,x2???xi??,i?1,2}上是一个凸函数。
解：
?f(X)?f(X)??4?2x2?x1 ??10?2x1?x2，
?x2?x1H(X)是正定的， 所以，f(X)为凸函数。
2-10现已获得优化问题
的一个数值解X?[1.000,4.900],试判定该解是否上述问题的最优解。 第三章习题答案
3-1函数f(X)?3x?8x?9，当初始点分别为x0?0及x0?1.8时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长T0?0.1。 解：当x0?0时
（1）取T?T0?0.1,A1?0,A2?T?0.1
3TX?X(0)?A2S=0.1
比较F1、F2，因F1?F2，所以应作前进搜索。 ⑵步长加倍：T?2T?0.2,A2?A2?T?1?2?0.3
X?X(0)?A2S=0.3
再比较F1、F2，因F1?F2，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的
A1点。所以：
A1?A2?T?0.3?0.2?0.1。
(3)步长加倍：T?2T?0.4,A2?A2?T?0.3?0.4?0.7
X?X(0)?A2S=0.7
F2?F(A2)?f(X(0)?A2S)?4.429.
比较F1、F2，因F1?F2，所以还应再向前搜索,A1?A2?T?0.7?0.4?0.3。 (4)步长加倍：T?2T?0.8,A2?A2?T?1.5
X?X(0)?A2S=1.5
F2?F(A2)?f(X(0)?A2S)?7.125.
比较F1、F2，因F1?F2。已找到具有“高－低－高”特征的区间 即：?1?A1?0.3时，F(?1)?6.681
?2?A2?T?0.7时，F(?2)?4.429 ?3?A2?1.5时，F(?3)?7.125。
机械优化设计课后习题答案
