抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题
2f(x)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。 例1. 已知函数
，2]，求函数例2. 已知函数f(x)的定义域是[?1二、求值问题
?f[log1(3?x)]2的定义域。
例3. 已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①
f(2)?1，f(6)?15；②
f(x?y)?f(x)?f(y)，求f（3），f（9）的值。
三、值域问题
例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，求函数f(x)的值域。
2f(0)?[f(0)]x?y?0解：令，得，即有f(0)?0或f(0)?1。
若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x1?x2，使得f(x1)?f(x2)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。
由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，有
xxxxxf(x)?f(?)?f()f()?[f()]2?022222
下面来证明，对任意x?R，f(x)?0
设存在
x0?R，使得
f(x0)?0，则
f(0)?f(x0?x0)?f(x0)f(?x0)?0
这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0 所以f(x)?0
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5. 设对满足x?0，x?1的所有实数x，函数f(x)满足解析式。
f(x)?f(x?1)?1?xx，求f（x）的
f(x)?f(解：在
x?1)?1?xx(1)x?1中以x代换其中x，得：
f(x?112x?1)?f(?)?xx?1x?1x?1代换x，得
(3)
(2)再在（1）中以
f(?1x?2)?f(x)?x?1x?1x3?x2?1f(x)?2x(x?1) (1)?(2)?(3)化简得：
x?1评析：如果把x和x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题
例6. 设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有
f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。
2f(0)?[f(0)]f(x?y)?f(x)f(y)x?y?0证明：在中取，得
若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以f(0)?0，即有f(0)?1
当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0 而f(x)?f(?x)?f(0)?1
f(x)?所以
1?0f(?x)
又当x?0时，f(0)?1?0
所以对任意x?R，恒有f(x)?0
设???x1?x2???，则x2?x1?0，f(x2?x1)?1 所以f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)f(x2?x1)?f(x1) 所以y?f(x)在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例
7. 已知函数f(x)(x?R，x?0)对任意不等于零的实数x1、x2都有
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，试判断函数f（x）的奇偶性。 ，x2?1得：f(?1)?f(?1)?f(1)，所以f(1)?0 解：取x1??1又取x1?x2??1得：f(1)?f(?1)?f(?1)，所以f(?1)?0 再取x1?x，x2??1则f(?x)?f(?1)?f(x)，即f(?x)?f(x) 因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。 七、对称性问题
例8. 已知函数y?f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求f?1(x)?f?1(2002?x)的值。
解：已知式即在对称关系式f(a?x)?f(a?x)?2b中取a?0，b?2002，所以函数y?f(x)的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y?f点（2002，0）对称。 所以f?1?1(x)的图象关于
(x?1001)?f?1(1001?x)?0
?1将上式中的x用x?1001代换，得f(x)?f?1(2002?x)?0
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(a?x)?2b，则函数y?f(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当x>0
时，0 （1）判断f（x）的单调性； 22A?{(x，y)|f(x)?f(y)?f(1)}， （2）设 B?{(x，y)|f(ax?y?2)?1，a?R}，若A?B??，试确定a的取值范围。 ，n?0，解：（1）在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?1得f(1)?f(1)?f(0)，因为f(1)?0， 所以f(0)?1。 在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?x，n??x 因为当x?0时，0?f(x)?1 所以当x?0时?x?0，0?f(?x)?1 而f(x)?f(?x)?f(0)?1 f(x)?所以 1?1?0f(?x) 又当x=0时，f(0)?1?0，所以，综上可知，对于任意x?R，均有f(x)?0。 设???x1?x2???，则x2?x1?0，0?f(x2?x1)?1 所以f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1) 所以y?f(x)在R上为减函数。 2222f(x)?f(y)?f(x?y)?f(1) （2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以22x?y?1 即有 又 f(ax?y?2)?1?f(0)，根据函数的单调性，有ax?y?2?0 2ax?y?由A?B??，所以直线 解得?1?a?1。 2?0与圆面x?y?1无公共点。因此有a?1222?1， 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0 的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
高中数学专题抽象函数常见题型解法
