考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析
来源：文都网校
在考研数学一和数学二的考试大纲中，要求考生掌握一些定积分在物理方面的应用，包括会用定积分计算变力做功、引力、压力、质心和形心等，另外，对于数学一的考生，还要求会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些物理量，包括：计算物体的质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等，其中关于细棒和平面薄片、立体的质心和形心的计算，在一般高等数学教材和复习资料上都有相应的介绍，但对于曲线的质心和形心的计算，一般资料上都没有或很少介绍，有些同学对此感到有些困惑，为了帮助同学们了解这一点，下面文都网校的蔡老师对曲线的质心和形心的计算方法做些介绍，供大家参考。
一、曲线质心和形心的计算方法 1）平面曲线质心和形心计算公式：
①设平面曲线L的线密度为?(x,y)，则L的质心(x,y)为：
x?(x,y)dsy?(x,y)ds??； x?,??y???(x,y)ds??(x,y)dsLLLLxdsyds??若密度?(x,y)为常数，则得曲线形心坐标为x?。 ,??y??ds?dsLLLL②以参数方程形式表示的平面曲线的质心和形心计算公式：
?x?x(t)若曲线L的参数方程为??(??t??)，则
y?y(t)?x????x(t)?[x(t),y(t)]x?2(t)?y?2(t)dt????[x(t),y(t)]x?(t)?y?(t)dt22,??y????y(t)?[x(t),y(t)]x?2(t)?y?2(t)dt????[x(t),y(t)]x?(t)?y?(t)dt22。
若密度?(x,y)为常数，则得曲线形心坐标为
x????x(t)x?2(t)?y?2(t)dt???x?(t)?y?(t)dt22,??y????y(t)x?2(t)?y?2(t)dt???x?(t)?y?(t)dt22。
2）空间曲线质心和形心计算公式：
①设空间曲线?的线密度为?(x,y,z)，则?的质心(x,y,z)为：
x?(x,y,z)dsy?(x,y,z)dsz?(x,y,z)ds???； x?,??y?,??z???(x,y,z)ds??(x,y,z)ds??(x,y,z)ds??????
xdsydszds???若密度?(x,y,z)为常数，则得曲线形心坐标为x?。 ,??y?,??z??ds?ds?ds??????②以参数方程形式表示的空间曲线的质心和形心计算公式：
?x?x(t)若曲线?的参数方程为??y?y(t)?(??t??)，则
??z?z(t)?2x???x(t)?[x(t),y(t),z(t)]x?(t)?y?2(t)?z?2(t)dt????[x(t),y(t),z(t)]x?2(t)?y?2(t)?z?2，(t)dty????y(t)?[x(t),y(t),z(t)]x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt??22??[x(t),y(t),z(t)]x?(t)?y?(t)?z?2
(t)dt?z???z(t)?[x(t),y(t),z(t)]x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt??。 ??[x(t),y(t),z(t)]x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt若密度?(x,y,z)为常数，则得曲线形心坐标为
?222?222x???x(t)x?(t)?y?(t)?z?(t)dt?y(t)x?(t)?y?(t)?z?(t)dt??222,??y??222，x?(t)?y?(t)?z?(t)dt????x?(t)?y?(t)?z?(t)dt?2z???z(t)x?(t)?y?2(t)?z?2(t)dt??2。
?x?(t)?y?2(t)?z?2(t)dt
二、典型例题分析
例1. 求半径为a、中心角为2?的均匀圆弧（线密度?(x,y)?1）的质心。 解：取坐标系如图所示
由对称性知y?0，由L的参数方程??x?acost?y?asint?(???t??)
得
???x???????x(t)x?2(t)?y?2(t)dtx?2(t)?y?2(t)dtacost?adtasin??asin??(0,)。 ，故质心坐标为???????adt???x?a(t?sint)例2. 摆线的一拱L:??(0?t?2?)的形心是（ ）
y?a(1?cost)?4257(A)(?a,a) (B)(?a,a) (C)(?a,a) (D)(?a,a)
3344解：4个选项中的横坐标都相同，所以只需求纵坐标y即可：
??y?2?0y(t)x?2(t)?y?2(t)dt2?0?x?(t)?y?(t)dt22??2?0a(1?cost)?2a1?costdt?2?02a1?costdt?
2?2?1tt?8aa?(1?cost)?2sindt22a?sin3dt400322????a，故选(A)。 2?t2342?02sin2dt例3. 已知螺旋线的一圈的方程为x?acost,y?asint,z?bt（0?t?2?）（a,b?0），螺旋线上任一点P(x,y,z)处的线密度等于该点到原点距离的平方，求曲线的质心。
解：由题意知?(x,y,z)?x2?y2?z2?a2cos2t?a2sin2t?b2t2，
ds?x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt?a2?b2dt，质心坐标为：
x??2?0acost(a2cos2t?a2sin2t?b2t2)a2?b2dt?2?0(acost?asint?bt)a?bdt22222222??2?0acost(a2?b2t2)dt?2?0(a?bt)dt222?
4?ab26ab2??2，同理可得 2282?a2??3b23a?4?b3?y?2?0asint(a2cos2t?a2sin2t?b2t2)a2?b2dt?2?22?0(a2cos2t?a2sin2t?b2t2)a2?b2dt?4?2ab26?ab2???2，2283a?4?b2?a2??3b23?z???(a00bt(a2cos2t?a2sin2t?b2t2)a2?b2dt2b?2(a2?2b2?2)3b?(a2?2b2?2)??2222222222283a?4?b232cost?asint?bt)a?bdt2?a??b3
6ab26?ab23b?(a2?2b2?2),?,)。 ，故质心坐标为(23a?4?2b23a2?4?2b23a2?4?2b2从上面的介绍和例题可以看到，曲线的形心就是均匀分布的曲线的质心，形
心是质心的一种特殊情况，这一点与细棒和平面薄片及立体的形心是相同的；曲线质心和形心坐标的计算常常通过曲线的参数方程化为定积分来计算；最后说明一点，曲线质心和形心可能在曲线上，也可能不在曲线上，如圆的形心在圆心，而圆心是不在圆上的。
关键词：
考研数学质心 形心曲线的质心 线的形心
X
曲
考研数学曲线质心和形心的计算方法分析
