惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
截面图形的几何性质
一.重点及难点：
(一).截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 y dSy?xdAdSx?ydA x dA 整个图形对y、z轴的静矩分别为 x ×C y
Sy??xdAASx??ydAA （I-1） 0 A y x 2.形心与静矩关系 图I-1
设平面图形形心C的坐标为yC,zC 则 0
y?SySx ， x? （I-2）
AA推论1 如果y轴通过形心（即x?0），则静矩Sy?0；同理，如果x轴通过形心（即y?0），则静矩Sx?0；反之也成立。
推论2 如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3??An的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为x1,y1；x2,y2；x3,y3??，则图形对y轴和x轴的静矩分别为
Sy??Syi??Aixii?1ni?1nnn （I-3）
Sx??Sxi??Aiyii?1i?1截面图形的形心坐标为
x??Axii?1nni ， y??Ayii?1nni （I-4）
?Ai?1i?Ai?1i4.静矩的特征
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为m3。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径
1. 惯性矩
定义 设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对O点的极惯性矩定义为
Ip???2dA （I-5）
A图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为
Iy??x2dA ， Ix??y2dA （I-6）
AA惯性矩的特征
（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐
标轴定义的。
（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。
（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。
（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原
点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即
Ip???2dA??(x2?y2)dA?Iy?Ix （I-7）
AA（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，
分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即
I???I?i ，Iy??Iyi ， Ix??Ixi （I-8）
i?1i?1i?1nnn y x1 C1 A1 y x2 C2 x dA A2 y xn Cn An y1 0 x 0 yn y2 x
图I-2 图I-3
2. 惯性积
定义 设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对y轴和x轴的惯性积定义为
Ixy??xydA （I-9）
A惯性积的特征
（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 （2） 惯性积的单位为m4。
（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有
一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。
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