五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知：如图，二次函数y?a(x?1)2?4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点
2D，点C是二次函数y?a(x?1)?4的图象的顶点，CD?2．
（1）求a的值．
（2）点M在二次函数y?a(x?1)2?4图象的对称轴上，且?AMC??BDO，求点M的坐标． （3）将二次函数y?a(x?1)2?4的图象向下平移k(k?0)个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF?FC1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）QC(?1,?4)，CD?2，?D(0,?3)，?a?1，
?y?(x?1)2?4，即y?x2?2x?3． （2）如图，
设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则N(?1,0)； 由（1）的抛物线：y?x2?2x?3，得：A(?3,0)、B(1,0) 在Rt?OBD中，OD?3，OB?1，tan?BDO?OB1?． OD31若?AMC??BDO，则tan?AMN?tan?BDO?；
3在Rt?AMN中，AN?OA?ON?2，MN?AN?tan?AMN?6； 故M(?1,6)或(?1,?6)． （3）存在．
QCC1?DD1?k，CC1//DD1，?四边形CC1D1D为平行四边形，
?C1D1//CD，??D1C1C??DCN?45?， QCF?FC1，??CC1F?45?
即?CFC1为等腰直角三角形，CFC1D1是正方形．FD1与CC1互相垂直平分． 11且CC1?k，?F(?k?1，?k?4)，
22由点F在新抛物线y?x2?2x?3?k上，
111?(?k?1)2?2(?k?1)?3?k??k?4，解得k?2或k?0（舍)，
222?k?2．当k?2时，CF?FC1．
25．在Rt?ABC中，?ACB?90?，tan?BAC?结BD，F为BD中点．
1．点D在边AC上（不与A，C重合），连2
（1）若过点D作DE?AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF?kEF，则k?； （2）若将图1中的?ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE?DE?2CF；
（3）若BC?6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．
【解析】（1）QDE?AB于E，F为BD中点．
?CF?11BD，EF?BD，?CF?EF．QCF?kEF，?k?1； 22（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan?BAC?1BCDE1??． ，?2ACAE2QD、E、B三点共线，?AE?DB．
Q?BQC??AQD，?ACB?90?，??QBC??EAQ． Q?ECA??ACG?90?，?BCG??ACG?90?， ??ECA??BCG．??BCG∽?ACE．?
BCGB1??．?GB?DE． ACAE2QF是BD中点，?F是EG中点．
在Rt?ECG中，CF?1EG，?BE?DE?EG?2CF； 21AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， 3（3）情况1：如图，当AD?Q?ACB?90?，tan?BAC?1，且BC?6，?AC?12，AB?65． 2
1QM为AB中点，?CM?35，QAD?AC，?AD?4．
31QM为AB中点，F为BD中点，?FM?AD?2．
2?当且仅当M、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF?CM?FM?2?35． F、
同理最小值为35?2． 情况2：如图，当AD?2AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， 3
类似于情况1，可知CF的最大值为4?35． 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4?35． 同理最小值为35?4．
2024中考数学模拟试卷
