2024年成人高考12月份期末考试各科考试资料
《 常微分方程 》 复习资料1
一、叙述题
叙述一阶微分方程解的存在唯一性定理并写出对应的积分方程 二、求下列方程的实通解
1. y'?1?ycosx 2. 3. ydx?(y?x)dy?0
2dydxy?6x?xy2
三、 计算题
?21?At1． 试求x'???x的基解矩阵e.
?02?四、证明题
1．假设f(x,y)在xOy平面上有定义、连续和有界, 同时存在关于y的一阶连续偏导数, 则方程y'?f(x,y)的任一个解的最大存在区间是(??,??).
(n)2．试证：n阶线性非齐次方程x?a1(t)x(n?1)??an?1(t)x'?an(t)x?f(t)(其中
ai(t)(i?1,,n),f(t)在I上连续)在区间I上存在且最多存在n?1个线性无关解.
3．假设?(t)在区间I上是x'?A(t)x（其中A(t)连续）的基解矩阵, 试证： ?(t)??(t)C在区间I上也是x'?A(t)x的基解矩阵，其中C为非奇异的n阶常矩阵.
参考答案
一、 叙述题
如果f(x,y)在矩形域R:x?x0?a,y?y0?b上连续且关于y满足李普希兹条件,
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则初值问题 y'?f(x,y),y(x0)?y0在区间x?x0?h上有且只有一个解, 其中
h?min(a,b/M),M?maxf(x,y).
(x,y)?R对应的积分方程为 y?y0?二、求下列方程的实通解
?xx0f(t,y)dt.
1. 解： 这是变量分离方程. 当y??1时,分离变量 dy1?y2?cosxdx,
积分得到原方程的通解为arcsiny?sinx?c,
其中c为任意常数.
?12. 解： 这是n?2时的伯努利方程. 令z?y，则原方程可化为一阶线性微分方程
dz??6xz?x. dx解之得 z??1cx6?x8.
2将z?y代入上式整理得到原方程的通解为
1y?cx6?x8, 或者 xy?x8?c, 其中c为任意常数.
2683. 解：令M?y,N?y?x. 由于
My?Nx?M??, 所以方程有积分因子 ??e2yydx?xdyy2??2dyy?y?2.
以它乘方程得到
?dyy?0.所以原方程的通解为x其中c为任意常数. y?lny?c,三、 计算题（10×2＝20） 1．解： 因为A??以
?21??10??01??2??????, 而且后面的两个矩阵可以交换, 所
020100??????祝君早日毕业
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t??20??01?2t?1expAt?exp?texpt?e?????.
?02??00??01?四、证明题（10×3＝30）
1．证明: 根据已知条件, 可知方程的右端函数在整个xOy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理的条件. 假设满足初值y(x0)?y0的解y?y(x)的存在区间是(a,b), 其中b为有限数. 则当x?b?时, y不趋于?(因为f(x,y)有界),这与延展定理矛盾. 2．证明：设?1(t),,?n(t)为对应齐次线性方程的n个线性无关解,?(t)为非齐次
,?n(t)??(t),?(t)为非齐次线
线性方程的一个解, 则?1(t)??(t),?2(t)??(t),性方程组的n?1个线性无关解. 设?1(t),?2(t),则
,?n(t),?n?1(t),?n?2(t)为非齐次线性方程的任意n?2个解,
?1(t)??n?2(t),?2(t)??n?2(t),n?1个解,
,?n?1(t)??n?2(t)为对应齐次线性方程组的
这n?1个解线性相关. 从而得到非齐次线性方程的任意n?2个解线性相关.
所以n阶线性非齐次方程在区间I上存在且最多存在n?1个线性无关解.
3．证明: 由?(t)在区间I上是x'?A(t)x的基解矩阵知 ?'(t)?A(t)?(t),
det?(t)?0.
所以 ?'(t)?(?(t)C)'??'(t)C?A(t)?(t)C?A(t)?(t), 即?(t)为解矩阵. 由C非奇异可知 det?(t)?0. 从而?(t)是x'?A(t)x的基解矩阵.
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《 常微分方程 》 复习资料2
一、叙述题 1．积分因子 二、求下列方程的实通解
2 1. y'?(x?y)?3 2.
dydxy?6x?xy2
223. (y?3xy?1)dx?(xy?x)dy?0
三、 计算题
1．已知函数a(t),b(t),f(t在)(??,??)连续, 函数3et?tet, et?tet?e?t,
t??et是线性微分方程 x''?a(t)x'?b(t)x?f(t) 的7et?tet, 5et?te334个解. 求此方程的通解和满足初值x(0)?0, x'(0)?1 的特解.
2．已知?1(t),?2(t),,?n?1(t)是线性非齐次方程组x'?A(t)x?f(t)在区间I上的
n?1个线性无关解, 其中A(t)和f(t)在I上连续. 试写出该方程组的通解的表达式. 四、证明题
1．假设f(x,y)和fy(x,y)在xOy平面上连续, 试证：对于任意的x0及 |y0|?1, 方
2程y'?(y?1)f(x,y) 满足 y(x0)?y0的解都在(??,??)上存在.
2．假设
?1(t),?2(t),,?n(t)是
n阶线性齐次方程
x(n)?a1(t)x(n?1)?ai(t)(?i?an?1(t)x'?an(t)x?0在区间I上的n个解, 其中
,?n(t)在区间I上线性无关的充
1,在n,I上连续. 试证：?1(t),?2(t),分必要条件是?1(t),?2(t),
,?n(t)所对应的朗斯基行列式W(t)?0,t?I.
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参考答案
一、叙述题
1．如果存在连续可微的函数???(x,y)?0, 使得
?(x,y)M(x,y)dx??(x,y)N(x,y)dy?0为恰当方程,
则称?(x,y)为方程 M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子.
二、求下列方程的实通解
1. 解： 令z?x?y，则原方程可化为变量分离方程
dz?4?z2. dx解之得 arctanz?2x?c. 2将z?x?y代入上式整理得到原方程的通解为y?2tan(2x?c)?x,
其中c为任意常数.
?12. 解： 这是n?2时的伯努利方程. 令z?y，则原方程可化为一阶线性微分方程
dz??6xz?x. dx解之得 z??1cx6?x8.
2将z?y代入上式整理得到原方程的通解为
1y?cx6?x8, 或者 xy?x8?c, 其中c为任意常数.
222683. 解：令M?y?3xy?1,N?xy?x. 由于
My?NxN?, 所以方程有积分因子 ??e1x222?1dxx?x.
以它乘方程得到(xy?3xy?x)dx?(xy?x)dy?0.
1所以原方程的通解为12xy?xy?2x?c,其中c为任意常数.
22323三、 计算题
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tttt1．解：因为函数3e?te, et?tet?e?t, 7e?te, 5e?te?e
3tt?3t是线性微分方程 x''?a(t)x'?b(t)x?f(t) 的4个解, 所以
e?te)?(3e?te)? (7ttttt4 e (5et?tet?e?t)?(7et?tet)?2et?e?t
33为所对应的齐次微分方程的两个解, 由此可得到et,e?t为对应的齐次微分方程的 一个基本解组, te为原方程的一个特解. 故原方程的
通解为x(t)?c1e?c2et?t3t3?tet, 其中c1,c2为任意常数.
由x(0)?0, x'(0)?1 解得c1?c2?0,
故满足初值x(0)?0, x'(0)?1的特解为te. 2．解：令?1(t)??1(t)??n?1(t),因为?1(t),所以?1(t),t,?n(t)??n(t)??n?1(t).
,?n(t),?n?1(t)为非齐次线性方程组的n?1个线性无关解，
,?n(t)为对应齐次线性方程组的n个线性无关解，
即一个基本解组.
所以非齐次线性方程组的通解为
x(t)?c1?1(t)??c1?1(t)??c1?1(t)?其中c1,四、证明题
?cn?n(t)??n?1(t)?cn?n(t)?(1?c1??cn?n(t)?cn?1?n?1(t),?cn?cn?1?1的任意常数.
?cn)?n?1(t)
,cn?1是满足c1?1．证明: 根据题设,可以证明方程的右端函数在整个xOy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理的条件. 显然, y??1为方程在(??,??)上的解, 由延展定理可知, 满足y(x0)?y0(其中x0任意, |y0|?1) 的解y?y(x)上的点应当无限远离原点, 而由解的唯一性, y?y(x)不能穿过直线y??1, 所以只能向两侧无限延展,
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从而这解应在(??,??)上存在.
2．证明：(必要性) 利用反证法. 设存在t0?I使得W(t0)?0. 考虑关于c1,c2,,cn的
以W(t0)为系数行列式的齐次线性代数方程组. 由W(t0)?0知此代数方程组有非零解c1,c2,,cn.
?cn?n(t),t?I. 由解的唯一性可
以这组常数构造函数 x(t)?c1?1(t)?c2?2(t)?知x(t)?0,t?I. 这与?1(t),?2(t),盾. ―――5分
(充分性) 利用反证法. 设?1(t),?2(t),全为零的常数解c1,c2,,?n(t)在区间I上线性无关矛
,?n(t)在区间I上线性相关, 则存在一组不
?cn?n(t)?0,t?I. 依次对
,cn,使得c1?1(t)?c2?2(t)?t微分此恒等式, 得到
c1?1(t)?c2?2(t)??cn?n(t)?0,??c1?1'(t)?c2?2'(t)??cn?n'(t)?0,? ??(n?1)(n?1)(n?1)??c1?1(t)?c2?2(t)??cn?n(t)?0,把它看成关于c1,c2,,cn的齐次线性代数方程组, 它的系数行列式为W(t).因为它
有一组非零解,所以它的系数行列式必须为零, 即W(t)?0. 这与W(t)?0矛盾.
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《 常微分方程 》 复习资料一、计算题
1、求方程4x2y2dx?2(x3y?1)dy?0的通解。 2、 求微分方程
3 dyy?的解. dxx?y33、解方程：?2x?2y?1?dx??x?y?2?dy?0
4、 求方程(dy2)?y2?1?0的奇解 dx5、 (x?2y)dx?xdy?0 二、求下列高阶微分方程的通解
x//?2x/?3x?e?tcost
?dy??x2?y2三、求初值问题?dx R:x?1?1,y?1的解的存在区间，并求第二次近似解，
??y(?1)?0给出在解的存在区间的误差估计。
四、求下列微分方程组的通解
12?（1）dy????y dx?43?参考答案
一、计算题 评分标准： 1、解：
?M?N?8x2y,?6x2y ?y?x?M?N?11??dy?1?y?x2y?? 积分因子?(y)?e?y2
?M2y 两边同乘以?(y)后方程变为恰当方程：4xydx?2y23223?12(x3y?1)dy?0
4?u?M?4x2y3 两边积分得：u?x3y2??(y)
3?x祝君早日毕业
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??u32'32 ?2xy??(y)?N?2xy?2y2
?y12111 得：?(y)??4y 因此方程的通解为：y(xy?3)?c
??dydxx?y3x?ydy22???y ，则 x?e2、解：(?yeydy?c) dyyy11123y3?cy 所以 x?2另外 y?0 也是方程的解
3、解：
dy2(x?y)?1??，令z=x+y dx(x?y)?2则
dzdy ?1?dxdxdz2z?1z?1?z?2?1??,dz?dx dxz?2?z?2z?13所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|=x+z+C1
即(x?y?1)?Ce4、解: 利用p判别曲线得
32x?y
?p2?y2?1?02 消去p得 y?1 即 y??1 ?2p?0?所以方程的通解为 y?sin(x?c) , 所以 y??1是方程的奇解 5、解：方程化为
dyy?1?2 dxxdydu 令y?xu，则，代入上式，得 ?u?xdxdxdu x?1?u
dx
分量变量，积分，通解为
u?Cx?1
原方程通解为
y?Cx?x
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二、求下列高阶微分方程的通解 解
?2?2??3?0,?1,2?1?2i
齐次方程的通解为x=et(c1cos2t?c2sin2t) ???1?i不是特征根，故取x?(Acost?Bsint)e?t
代入方程比较系数得A=
54，B=? 414154于是x?(cost?sint)e?t
41411(5cost?4sint)e?t 41 通解为x=et(c1cos2t?c2sin2t)+
三、解：M?maxf(x,y)?4
(x,y)?R x?x0?1?a,y?y0?1?b，h?min(a, 解的存在区间为x?x0?x?1?h? 即?b1)? M41 453?x?? 44 令?0(x)?y0?0
x31? ?1(x)?0??xdx??133x2?2x312?x3x7x4x11?)?dx????? ?2(x)?0???x?(
?133?36318942?x 又
?f??2y?2?L ?yMLnn?11h? 误差估计为：?2(x)??(x)?
(n?1)!24
四、求下列微分方程组的通解
（1）解： det(?E?A)=
??1?4?2??3??2?4??5?0
所以，?1??1,祝君早日毕业
?2?5
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设?1??1对应的特征向量为v1
??2?2? 由???4?4??v1?0???1? 取v1????1?????1?可得v1?????1????
??0
?1?同理取v2???2???? 所以，
祝君早日毕业
?(t)= ?e?tv1e5tv??e?t2?????e?te5t?2e5t?? ?
2024级专升本数学与应用数学专业专升本复习资料12月份考试资料常微分方程复习资料
